Équations et programme de calculs

Exercices types : 11ère partie - Exercice 2

14 min
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Question 1
Soit On donne l'expression algébrique E suivante :
A=(2x+3)2+(x7)(2x+3)A = ( 2x + 3 )^2 + ( x -7 )( 2x + 3 )

Développer et réduire A.A.

Correction
  • (a+b)2=a2+2ab+b2\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right)^{2} ={\color{blue}a}^{2} +2{\color{blue}a}{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}
A=(2x+3)2+(x7)(2x+3)A = {\color{brown}( 2x + 3 )^2} + {\color{green}( x -7 )( 2x + 3 )}
A=((2x)2+2×2x×3+32)+(x7)(2x+3).A={\color{brown}\left((2x)^2+2\times{2x}\times3+3^2\right)}+{\color{green}( x -7 )( 2x + 3 )}.
A=4x2+12x+9+x×2x+x×37×2x7×3A={\color{brown}4x^2+12x+9}+\color{green}x\times{2x}+x\times{3}-7\times{2x}-7\times{3}
A=4x2+12x+9+2x2+3x14x21A={\color{brown}4x^2+12x+9}+\color{green}2x^2+3x-14x-21
A=4x2+2x2+12x+3x14x+921A=4x^2+2x^2+12x+3x-14x+9-21
A=6x2+x12\color{blue}\boxed{A=6x^2+x-12}
Question 2

Factoriser A.A.

Correction
  • Factoriser une expression, c’est l’écrire sous la forme d’un produit de facteurs.
  • Si l’expression contient un facteur commun, alors on utilise l'une des formules de factorisation : ka+kb=k(a+b)      ou        kakb=k(ab)  \color{red}ka + kb = k(a+b)\;\;\;ou\;\;\;\;ka – kb = k(a – b)\Rightarrow\;Ici k\color{red}k représente le facteur en commun.
On considère l’expression A=(2x+3)2+(x7)(2x+3)A = ( 2x + 3 )^2 + ( x -7 )( 2x + 3 )
A=(2x+3)(2x+3)+(x7)(2x+3)A=(2x+3){\color{blue}(2x+3)}+(x-7){\color{blue}(2x+3)}
Ici AA est de la forme ka+kb\color{red}ka+kb,   \;avec avec comme facteur en commun k=2x+3\color{blue}k=2x+3,    \;\;a=2x+3a=2x+3       \;\;\;et      \;\;\;b=x7b=x-7
Or      \;\;\; ka+kb=k(a+b){\color{red}ka +kb = k(a +b)}, alors :
A=(2x+3)(2x+3+x7)A = ( 2x + 3 ) ( 2x +3+x-7 )
Donc A=(2x+3)(3x4){\color{blue}\boxed{A=(2x+3)(3x-4)}}
Question 3

Résoudre l'équation (2x+3)(3x4)=0(2x+3)(3x-4)=0

Correction
  • Le produit de 2 facteurs est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
  • Résoudre une équation produit revient à résoudre deux équations du premier degré.
(2x+3)(3x4)=0(2x+3)(3x-4)=0
(2x+3)(3x4)=0(2x+3)(3x-4)=0       \;\;\;Si et seulement si :         \;\;\;\;2x+3=02x+3 = 0          \;\;\;\;\; ou :          \;\;\;\;\; 3x4=03x-4 =0
Ainsi on a :
2x+33=03{2x}+3{\color{blue}{-3}} ={0}{\color{blue}{-3}}   \; On soustrait 3{\color{blue}3} à chaque membre.
2x=32x=-3
2x2=32\frac{2x}{\color{blue}2}=\frac{-3}{\color{blue}2}   \;On a divisé par 2{\color{blue}2} chaque membre.
x=32\boxed{x=-\frac{3}{2}}
                                                                            \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; OU\textbf{\red{OU}}
3x4+4=0+43x-4{\color{blue}{+4}} =0{\color{blue}{+4}}   \; On a additionne 4{\color{blue}4} à chaque membre.
3x=43x=4
3x3=43\frac{3x}{\color{blue}3}=\frac{4}{\color{blue}3}       \;\;\;On a divisé par 3{\color{blue}3} chaque membre.

x=43\boxed{x=\frac{4}{3}}
L'ensemble des solutions est S={32  ;  43}S=\left\{-\frac{3}{2}\;;\;\frac{4}{3}\right\}