Équations et programme de calculs

Equations produit nul - Exercice 2

12 min
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Question 1
COMPETENCES : Savoir résoudre une équation et calculer en utilisant le langage algébrique.

(x−3)(−2x+5)=0\left(x-3\right)\left(-2x+5\right)=0

Correction
  • Le produit de 2 facteurs est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
  • Résoudre une équation produit revient à résoudre deux équations du premier degré.
(x−3)(−2x+5)=0\left(x-3\right)\left(-2x+5\right)=0       \;\;\;si et seulement si x−3=0x-3 = 0          \;\;\;\;\; ou :          \;\;\;\;\; −2x+5=0-2x+5 =0
Ainsi on a :
x−3+3=0+3x-3{\color{blue}{+3}} = 0{\color{blue}{+3}}   \; On a additionné 3{\color{blue}3} à chaque membre.
x=3\boxed{x=3}
                                                                            \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; OU\textbf{\red{OU}}
−2x+5−5=0−5-2x+5{\color{blue}{-5}} =0{\color{blue}{-5}}   \; On soustrait 5{\color{blue}5} à chaque membre.
−2x=−5-2x =-5
−2x−2=−5−2\frac{-2x}{\color{blue}{-2}} =\frac{-5}{\color{blue}{-2}} On divise par −2{\color{blue}-2} chaque membre.
x=52\boxed{x=\frac{5}{2}}
L'ensemble des solutions est S={52;3}S=\left\{\frac{5}{2};3\right\}
Question 2

(x+6)(−3x−7)=0\left(x+6\right)\left(-3x-7\right)=0

Correction
  • Le produit de 2 facteurs est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
  • Résoudre une équation produit revient à résoudre deux équations du premier degré.
(x+6)(−3x−7)=0\left(x+6\right)\left(-3x-7\right)=0       \;\;\;si et seulement si x+6=0x+6 = 0          \;\;\;\;\; ou :          \;\;\;\;\; −3x−7=0-3x-7 =0
Ainsi on a :
x+6−6=0−6x+6{\color{blue}{-6}}= 0{\color{blue}{-6}}   \; On soustrait 6{\color{blue}6} à chaque membre.
x=−6\boxed{x=-6}
                                                                            \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; OU\textbf{\red{OU}}
−3x−7+7=0+7-3x-7{\color{blue}{+7}} =0{\color{blue}{+7}}   \; On additionne 7{\color{blue}7} à chaque membre.
−3x=7-3x =7
−3x−3=7−3\frac{-3x}{\color{blue}{-3}} =\frac{7}{\color{blue}{-3}} On divise par −3{\color{blue}-3} chaque membre.
x=−73\boxed{x=-\frac{7}{3}}
L'ensemble des solutions est S={−6;−73}S=\left\{-6;-\frac{7}{3}\right\}
Question 3

(13x−2)(35x+4)=0\left(\frac{1}{3}x-2\right)\left(\frac{3}{5}x+4\right)=0

Correction
(13x−2)(35x+4)=0\left(\frac{1}{3}x-2\right)\left(\frac{3}{5}x+4\right)=0       \;\;\;si et seulement si :       \;\;\;13x−2=0\frac{1}{3}x-2=0           \;\;\;\;\; ou :          \;\;\;\;\; 35x+4=0\frac{3}{5}x+4 =0
Ainsi on a :
13x−2+2=0+2\frac{1}{3}x-2\color{blue}+2 = 0\color{blue}+2   \; On additionne 2{\color{blue}2} à chaque membre.
13x=2\frac{1}{3}x =2
13x13=213\frac{\frac{1}{3}x}{{\color{blue}{\frac{1}{3}}}} =\frac{2}{\color{blue}{\frac{1}{3}}} On divise par 13{\color{blue}\frac{1}{3}} chaque membre.
x=213x=\frac{2}{\color{blue}{\frac{1}{3}}}
  • Pour diviser 2 fractions, il faut multiplier la première fraction par l'inverse de la deuxième.

x=2×31x =2\times\frac{3}{1}
x=6\boxed{x=6}
                                                                            \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; OU\textbf{\red{OU}}
35x+4−4=0−4\frac{3}{5}x+4 \color{blue}-4=0\color{blue}-4   \; On soustrait 4{\color{blue}4} à chaque membre.
35x=−4\frac{3}{5}x =-4
35x35=−435\frac{\frac{3}{5}x}{{\color{blue}{\frac{3}{5}}}} =\frac{-4}{\color{blue}{\frac{3}{5}}} On divise par 35{\color{blue}\frac{3}{5}} chaque membre.
x=−435x=\frac{-4}{\color{blue}{\frac{3}{5}}}
  • Pour diviser 2 fractions, il faut multiplier la première fraction par l'inverse de la deuxième.
x=−4×53x =-4\times\frac{5}{3}
x=−203\boxed{x=-\frac{20}{3}}
L'ensemble des solutions est S={−203;6}S=\left\{-\frac{20}{3};6\right\}.