Antilles-Guyane 30 juin 2026 - Exercice 1

20 min
35
On considère le programme de calcul ci-dessous.
Question 1

Vérifier qu'en choisissant 11 comme nombre de départ, on obtient −2-2 avec ce programme de calcul.

Correction
Déterminons le résultat obtenu avec le programme A :
première étape :
Le nombre choisi est 1\color{blue}1.
deuxième étape :
On soustrait 22.
On obtient donc   \;⇒\color{red}\Rightarrow   \; 1−2=−1\color{blue}1-2=-1
troisième étape :
On multiplie par 55.
On obtient donc   \;⇒\color{red}\Rightarrow   \; −1×5=−5\color{blue}-1\times 5=-5
quatrième étape :
On ajoute le triple du nombre de départ.
On obtient donc   \;⇒\color{red}\Rightarrow   \; −5+3×1=−5+3=−2\color{blue}-5+3\times 1=-5+3=-2
Avec 11 comme nombre de départ, on obtient bien −2-2.
Question 2
On note xx le nombre choisi au départ.

Montrer que le résultat du programme est 8x−108x-10.

Correction
Déterminons le résultat obtenu avec le programme A :
première étape :
Le nombre choisi est x\color{blue}x.
deuxième étape :
On soustrait 22.
On obtient donc   \;⇒\color{red}\Rightarrow   \; x−2\color{blue}x-2
troisième étape :
On multiplie par 55.
On obtient donc   \;⇒\color{red}\Rightarrow   \; 5(x−2)\color{blue}5\left(x-2\right)
quatrième étape :
On ajoute le triple du nombre de départ.
On obtient donc   \;⇒\color{red}\Rightarrow   \; 5(x−2)+3x\color{blue}5\left(x-2\right)+3x
Distributivité simple : pour tous nombres relatifs kk, aa et bb :
k(a+b)=k×a+k×b{\color{red}\boxed{k\left(a+b\right)=k\times a+k\times b}}
5(x−2)+3x5\left(x-2\right)+3x équivaut successivement à :
5×x−5×2+3x5\times x-5\times 2+3x
5x−10+3x5x-10+3x
8x−108x-10
Le résultat du programme est bien 8x−108x-10.
Question 3

Quel nombre de départ faut-il choisir pour que le résultat du programme soit égal à 00 ?

Correction
Il nous faut résoudre l'équation : 8x−10=08x-10=0.
8x−10+10=0+108x-10{\color{blue}+10}=0{\color{blue}+10} On additionne 10{\color{blue}10} à chaque membre.
8x=108x=10
8x8=108\dfrac{8x}{\color{blue}8}=\dfrac{10}{\color{blue}8} On divise chaque membre par le nombre devant le xx qui ici vaut 8{\color{blue}8}.
Ainsi :
x=1,25x=1{,}25
Il faut choisir 1,251{,}25 comme nombre de départ. Vérification : 8×1,25−10=10−10=08\times 1{,}25-10=10-10=0.
Question 4
Question d'algorithmique
On considère ci-dessous le programme de calcul B, réalisé avec le logiciel « Scratch ».

En appliquant ce programme de calcul au nombre 11, quel résultat final obtient-on ?

Correction
Déterminons le résultat obtenu avec le programme B :
première étape :
Le nombre choisi est 1\color{blue}1.
deuxième étape :
On met dans résultat 4×4\times réponse.
On obtient donc   \;⇒\color{red}\Rightarrow   \; 4×1=4\color{blue}4\times 1=4
troisième étape :
On met dans résultat : résultat −5-5.
On obtient donc   \;⇒\color{red}\Rightarrow   \; 4−5=−1\color{blue}4-5=-1
quatrième étape :
On met dans résultat 2×2\times résultat.
On obtient donc   \;⇒\color{red}\Rightarrow   \; 2×(−1)=−2\color{blue}2\times\left(-1\right)=-2
Avec 11 comme nombre de départ, le programme B dit −2-2.

On obtient le même résultat qu'avec le programme A (question 1).
Question 5

Montrer que le résultat du programme A est toujours le même que celui du programme B quel que soit le nombre choisi au départ.

Correction
Déterminons le résultat obtenu avec le programme B :
première étape :
Le nombre choisi est x\color{blue}x.
deuxième étape :
On met dans résultat 4×4\times réponse.
On obtient donc   \;⇒\color{red}\Rightarrow   \; 4x\color{blue}4x
troisième étape :
On met dans résultat : résultat −5-5.
On obtient donc   \;⇒\color{red}\Rightarrow   \; 4x−5\color{blue}4x-5
quatrième étape :
On met dans résultat 2×2\times résultat.
On obtient donc   \;⇒\color{red}\Rightarrow   \; 2(4x−5)\color{blue}2\left(4x-5\right)
Distributivité simple : pour tous nombres relatifs kk, aa et bb :
k(a+b)=k×a+k×b{\color{red}\boxed{k\left(a+b\right)=k\times a+k\times b}}
2(4x−5)2\left(4x-5\right) équivaut successivement à :
2×4x−2×52\times 4x-2\times 5
8x−108x-10

D'après la question 2, le programme A donne aussi 8x−108x-10.
Les deux programmes donnent donc toujours le même résultat, quel que soit le nombre choisi au départ.

Signaler une erreur

Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.