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Arithmétique
Utiliser des diviseurs et des multiples - Exercice 3
12 min
25
COMPETENCE :
Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de multiples.
Question 1
Déterminer, parmi les nombres suivants, celui qui a le plus de diviseurs.
a
.
\bf{a.}
a.
\;
2
2
2
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;
b
.
\bf{b.}
b.
\;
15
15
15
c
.
\bf{c.}
c.
\;
11
11
11
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;
d
.
\bf{d.}
d.
\;
18
18
18
Correction
Dans un premier temps, nous devons déterminer les diviseurs de chacun des nombres ci-dessus.
a. Déterminons les diviseurs de
2
\color{blue}2
2
:
2
2
2
est un nombre premier, donc les diviseurs de
2
2
2
sont
(
1
,
2
)
({\color{blue}1,\;2)}
(
1
,
2
)
,
b. Déterminons les diviseurs de
15
:
\color{blue}15 :
15
:
Méthode pour déterminer les diviseurs d'un nombre :
1°) On calcule
la racine carrée
du nombre recherché.
2°) On
divise
le nombre de départ par tout
les nombres entiers allant de 1 à sa racine carrée.
3°) À chaque division,
si le résultat est un nombre entier
, alors
le diviseur et le résultat seront des diviseurs du nombre.
1
°
)
1°)
1°
)
On calcule la racine carrée de
15
15
15
, on obtient :
15
≈
3
,
87.
\sqrt{15}\approx3,87.
15
≈
3
,
87.
2
°
)
2°)
2°
)
On divise
15
15
15
par tous les nombres entiers allant de
1
1
1
à sa racine carrée, c'est-à-dire
3.
3.
3.
15
:
1
=
15
15:1=15
15
:
1
=
15
\;\;
donc
1
{\color{blue}1}
1
et
15
{\color{blue}15}
15
sont des diviseurs de
15.
15.
15.
15
:
2
=
7
,
5
15:2=7,5
15
:
2
=
7
,
5
\;\;
donc
2
{\color{red}2}
2
n'est pas un diviseur de
15.
\color{red}15.
15.
15
:
3
=
5
15:3=5
15
:
3
=
5
\;\;
donc
3
{\color{blue}3}
3
et
5
{\color{blue}5}
5
sont des diviseurs de
15.
15.
15.
On peut donc conclure que tous les diviseurs de
15
15
15
, sont :
(
1
;
3
;
5
;
15.
)
{\color{blue}(1\;;\;3\;;\;5\;;\;15.)}
(
1
;
3
;
5
;
15.
)
a. Déterminons les diviseurs de
11
\color{blue}11
11
:
Ici, on peut remarquer que
11
11
11
est un nombre premier.
Donc les premiers diviseurs de
11
11
11
sont
(
1
,
11
)
({\color{blue}1,\;11)}
(
1
,
11
)
.
On peut donc conclure que tous les diviseurs de
11
11
11
, sont :
(
1
;
11.
)
{\color{blue}(1\;;\;11.)}
(
1
;
11.
)
b. Déterminons les diviseurs de
18
\color{blue}18
18
:
1
°
)
1°)
1°
)
On calcule la racine carrée de 1
8
8
8
, on obtient :
18
≈
4
,
24.
\sqrt{18}\approx4,24.
18
≈
4
,
24.
2
°
)
2°)
2°
)
On divise
18
18
18
par tous les nombres entiers allant de
1
1
1
à sa racine carrée, c'est-à-dire
4
4
4
.
18
:
1
=
18
18:1=18
18
:
1
=
18
\;\;
donc
1
{\color{blue}1}
1
et
18
{\color{blue}18}
18
sont des diviseurs de
18.
18.
18.
18
:
2
=
9
18:2=9
18
:
2
=
9
\;\;
donc
2
{\color{blue}2}
2
et
9
{\color{blue}9}
9
sont des diviseurs de
18.
18.
18.
18
:
3
=
6
18:3=6
18
:
3
=
6
\;\;
donc
3
{\color{blue}3}
3
et
6
{\color{blue}6}
6
sont des diviseurs de
18.
18.
18.
18
:
4
≈
4
,
5
18:4\approx4,5
18
:
4
≈
4
,
5
\;\;
donc
4
{\color{red}4}
4
n'est pas un diviseur de
18.
\color{red}18.
18.
On peut donc conclure que tous les diviseurs de
18
18
18
, sont :
(
1
;
2
;
3
;
6
;
9
;
18.
)
{\color{blue}(1\;;\;2\;\;;\;3\;;\;6\;;\;9\;;\;18.)}
(
1
;
2
;
3
;
6
;
9
;
18.
)
Ici, on peut conclure que
18
18
18
a le plus de diviseurs.
Question 2
Déterminer, parmi les nombres suivants, celui qui a le moins de diviseurs.
a
.
\bf{a.}
a.
\;
6
6
6
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;
b
.
\bf{b.}
b.
\;
16
16
16
c
.
\bf{c.}
c.
\;
37
37
37
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;
d
.
\bf{d.}
d.
\;
4
4
4
Correction
Dans un premier temps, nous devons déterminer les diviseurs de chacun des nombres ci-dessus.
a. Déterminons les diviseurs de
6
\color{blue}6
6
:
Méthode pour déterminer les diviseurs d'un nombre :
1°) On calcule
la racine carrée
du nombre recherché.
2°) On
divise
le nombre de départ par tout
les nombres entiers allant de 1 à sa racine carrée.
3°) À chaque division,
si le résultat est un nombre entier
, alors
le diviseur et le résultat seront des diviseurs du nombre.
1
°
)
1°)
1°
)
On calcule la racine carrée de
6
6
6
, on obtient :
6
≈
2
,
44.
\sqrt{6}\approx2,44.
6
≈
2
,
44.
2
°
)
2°)
2°
)
On divise
6
6
6
par tous les nombres entiers allant de
1
1
1
à sa racine carrée, c'est-à-dire
2.
2.
2.
6
:
1
=
6
6:1=6
6
:
1
=
6
\;\;
donc
1
{\color{blue}1}
1
et
6
{\color{blue}6}
6
sont des diviseurs de
6.
6.
6.
6
:
2
=
3
6:2=3
6
:
2
=
3
\;\;
donc
2
{\color{blue}2}
2
et
3
{\color{blue}3}
3
sont des diviseurs de
6.
6.
6.
On peut donc conclure que tous les diviseurs de
6
6
6
, sont :
(
1
;
2
;
3
;
6.
)
{\color{blue}(1\;;\;2\;;\;3\;;\;6.)}
(
1
;
2
;
3
;
6.
)
b. Déterminons les diviseurs de
16
\color{blue}16
16
:
1
°
)
1°)
1°
)
On calcule la racine carrée de
16
16
16
, on obtient :
16
=
4.
\sqrt{16}=4.
16
=
4.
2
°
)
2°)
2°
)
On divise
16
16
16
par tous les nombres entiers allant de
1
1
1
à sa racine carrée, c'est-à-dire
4.
4.
4.
16
:
1
=
16
16:1=16
16
:
1
=
16
\;\;
donc
1
{\color{blue}1}
1
et
16
{\color{blue}16}
16
sont des diviseurs de
16.
16.
16.
16
:
2
=
8
16:2=8
16
:
2
=
8
\;\;
donc
2
{\color{blue}2}
2
et
8
{\color{blue}8}
8
sont des diviseurs de
16.
16.
16.
16
:
3
≈
5
,
33
16:3\approx5,33
16
:
3
≈
5
,
33
\;\;
donc
3
{\color{red}3}
3
n'est pas un diviseur de
16.
\color{red}16.
16.
16
:
4
=
4
16:4=4
16
:
4
=
4
\;\;
donc
4
{\color{blue}4}
4
est un diviseur de
16.
16.
16.
On peut donc conclure que tous les diviseurs de
16
16
16
, sont :
(
1
;
2
;
4
;
8
;
16.
)
{\color{blue}(1\;;\;2\;;\;4\;;\;8\;;\;16.)}
(
1
;
2
;
4
;
8
;
16.
)
c. Déterminons les diviseurs de
37
\color{blue}37
37
:
Ici, on peut remarquer que
37
37
37
est un nombre premier.
Donc les premiers diviseurs de
37
37
37
sont
(
1
,
37
)
({\color{blue}1,\;37)}
(
1
,
37
)
.
On peut donc conclure que tous les diviseurs de
37
37
37
, sont :
(
1
;
37.
)
{\color{blue}(1\;;\;37.)}
(
1
;
37.
)
d. Déterminons les diviseurs de
4
\color{blue}4
4
:
1
°
)
1°)
1°
)
On calcule la racine carrée de
4
4
4
, on obtient :
4
=
2.
\sqrt{4}=2.
4
=
2.
2
°
)
2°)
2°
)
On divise
4
4
4
par tous les nombres entiers allant de
1
1
1
à sa racine carrée, c'est-à-dire
2.
2.
2.
4
:
1
=
4
4:1=4
4
:
1
=
4
\;\;
donc
1
{\color{blue}1}
1
et
4
{\color{blue}4}
4
sont des diviseurs de
4.
4.
4.
4
:
2
=
2
4:2=2
4
:
2
=
2
\;\;
donc
2
{\color{blue}2}
2
est un diviseur de
4.
4.
4.
On peut donc conclure que tous les diviseurs de
4
4
4
, sont :
(
1
;
2
;
4.
)
{\color{blue}(1\;;\;2\;\;;\;4.)}
(
1
;
2
;
4.
)
Ici, on peut conclure que
37
37
37
a le moins de diviseurs.