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Utiliser des diviseurs et des multiples - Exercice 3

12 min
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COMPETENCE : Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de multiples.
Question 1
Déterminer, parmi les nombres suivants, celui qui a le plus de diviseurs.

a.\bf{a.}  \; 22                                                                                                         \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.}  \; 1515
c.\bf{c.}  \; 1111                                                                                                       \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;d.\bf{d.}  \; 1818

Correction
  • Dans un premier temps, nous devons déterminer les diviseurs de chacun des nombres ci-dessus.
    a. Déterminons les diviseurs de 2\color{blue}2 :
    22 est un nombre premier, donc les diviseurs de 22 sont (1,  2)({\color{blue}1,\;2)},
    b. Déterminons les diviseurs de 15:\color{blue}15 :
      Méthode pour déterminer les diviseurs d'un nombre :

      1°) On calcule la racine carrée du nombre recherché.
      2°) On divise le nombre de départ par tout les nombres entiers allant de 1 à sa racine carrée.
      3°) À chaque division, si le résultat est un nombre entier, alors le diviseur et le résultat seront des diviseurs du nombre.
    1°)1°) On calcule la racine carrée de 1515, on obtient : 15≈3,87.\sqrt{15}\approx3,87.
    2°)2°) On divise 1515 par tous les nombres entiers allant de 11 à sa racine carrée, c'est-à-dire 3.3.
    15:1=1515:1=15    \;\; donc 1{\color{blue}1} et 15{\color{blue}15} sont des diviseurs de 15.15.
    15:2=7,515:2=7,5    \;\; donc 2{\color{red}2} n'est pas un diviseur de 15.\color{red}15.
    15:3=515:3=5     \;\; donc 3{\color{blue}3} et 5{\color{blue}5} sont des diviseurs de 15.15.
    On peut donc conclure que tous les diviseurs de 1515, sont :(1  ;  3  ;  5  ;  15.){\color{blue}(1\;;\;3\;;\;5\;;\;15.)}
    a. Déterminons les diviseurs de 11\color{blue}11 :
    Ici, on peut remarquer que 1111 est un nombre premier.
    Donc les premiers diviseurs de 1111 sont (1,  11)({\color{blue}1,\;11)}.
    On peut donc conclure que tous les diviseurs de 1111, sont :(1  ;  11.){\color{blue}(1\;;\;11.)}
    b. Déterminons les diviseurs de 18\color{blue}18 :
    1°)1°) On calcule la racine carrée de 188, on obtient : 18≈4,24.\sqrt{18}\approx4,24.
    2°)2°) On divise 1818 par tous les nombres entiers allant de 11 à sa racine carrée, c'est-à-dire 44.
    18:1=1818:1=18    \;\; donc 1{\color{blue}1} et 18{\color{blue}18} sont des diviseurs de 18.18.
    18:2=918:2=9    \;\; donc 2{\color{blue}2} et 9{\color{blue}9} sont des diviseurs de 18.18.
    18:3=618:3=6     \;\; donc 3{\color{blue}3} et 6{\color{blue}6} sont des diviseurs de 18.18.
    18:4≈4,518:4\approx4,5    \;\; donc 4{\color{red}4} n'est pas un diviseur de 18.\color{red}18.
    On peut donc conclure que tous les diviseurs de 1818, sont : (1  ;  2    ;  3  ;  6  ;  9  ;  18.){\color{blue}(1\;;\;2\;\;;\;3\;;\;6\;;\;9\;;\;18.)}
    Ici, on peut conclure que 1818 a le plus de diviseurs.
    • Question 2
    Déterminer, parmi les nombres suivants, celui qui a le moins de diviseurs.

    a.\bf{a.}  \; 66                                                                                                         \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.}  \; 1616
    c.\bf{c.}  \; 3737                                                                                                       \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;d.\bf{d.}  \; 44

    Correction
  • Dans un premier temps, nous devons déterminer les diviseurs de chacun des nombres ci-dessus.
    a. Déterminons les diviseurs de 6\color{blue}6 :
      Méthode pour déterminer les diviseurs d'un nombre :

      1°) On calcule la racine carrée du nombre recherché.
      2°) On divise le nombre de départ par tout les nombres entiers allant de 1 à sa racine carrée.
      3°) À chaque division, si le résultat est un nombre entier, alors le diviseur et le résultat seront des diviseurs du nombre.

    1°)1°) On calcule la racine carrée de 66, on obtient : 6≈2,44.\sqrt{6}\approx2,44.
    2°)2°) On divise 66 par tous les nombres entiers allant de 11 à sa racine carrée, c'est-à-dire 2.2.
    6:1=66:1=6    \;\; donc 1{\color{blue}1} et 6{\color{blue}6} sont des diviseurs de 6.6.
    6:2=36:2=3    \;\; donc 2{\color{blue}2} et 3{\color{blue}3} sont des diviseurs de 6.6.
    On peut donc conclure que tous les diviseurs de 66, sont :(1  ;  2  ;  3  ;  6.){\color{blue}(1\;;\;2\;;\;3\;;\;6.)}
    b. Déterminons les diviseurs de 16\color{blue}16 :
    1°)1°) On calcule la racine carrée de 1616, on obtient : 16=4.\sqrt{16}=4.
    2°)2°) On divise 1616 par tous les nombres entiers allant de 11 à sa racine carrée, c'est-à-dire 4.4.
    16:1=1616:1=16    \;\; donc 1{\color{blue}1} et 16{\color{blue}16} sont des diviseurs de 16.16.
    16:2=816:2=8    \;\; donc 2{\color{blue}2} et 8{\color{blue}8} sont des diviseurs de 16.16.
    16:3≈5,3316:3\approx5,33    \;\; donc 3{\color{red}3} n'est pas un diviseur de 16.\color{red}16.
    16:4=416:4=4    \;\; donc 4{\color{blue}4} est un diviseur de 16.16.
    On peut donc conclure que tous les diviseurs de 1616, sont :(1  ;  2  ;  4  ;  8  ;  16.){\color{blue}(1\;;\;2\;;\;4\;;\;8\;;\;16.)}
    c. Déterminons les diviseurs de 37\color{blue}37 :
    Ici, on peut remarquer que 3737 est un nombre premier.
    Donc les premiers diviseurs de 3737 sont (1,  37)({\color{blue}1,\;37)}.
    On peut donc conclure que tous les diviseurs de 3737, sont :(1  ;  37.){\color{blue}(1\;;\;37.)}
    d. Déterminons les diviseurs de 4\color{blue}4 :
    1°)1°) On calcule la racine carrée de 44, on obtient : 4=2.\sqrt{4}=2.
    2°)2°) On divise 44 par tous les nombres entiers allant de 11 à sa racine carrée, c'est-à-dire 2.2.
    4:1=44:1=4    \;\; donc 1{\color{blue}1} et 4{\color{blue}4} sont des diviseurs de 4.4.
    4:2=24:2=2    \;\; donc 2{\color{blue}2} est un diviseur de 4.4.
    On peut donc conclure que tous les diviseurs de 44, sont :(1  ;  2    ;  4.){\color{blue}(1\;;\;2\;\;;\;4.)}
    Ici, on peut conclure que 3737 a le moins de diviseurs.

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