Sujet 2 - Exercice 1

Il est important de connaître les premiers nombres premiers : $$\color{red}(2\;;\;3\;;\;5\;;\;7\;;11\;;13\;;17\;;\;19\;;\;23).$$
On cherche les diviseurs de $$162$$ dans l'ordre croissant :
$$162$$ est divisible par $$2$$ ainsi : $$162={\color{red}2}\times 81$$
$$81$$ est divisible par $$3$$ ainsi : $$162={\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times27$$
$$27$$ est divisible par $$3$$ ainsi : $$162={\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times {\color{blue}3} \times9$$
$$9$$ est divisible par $$3$$ ainsi : $$162={\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times {\color{blue}3}\times {\color{blue}3}\times 3$$
$$3$$ est un nombre premier, donc la décomposition de $$162$$ en produits de facteurs premiers est alors :
$$162={\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times {\color{blue}3}\times {\color{blue}3}\times {\color{blue}3}$$ que l'on écrit : $$162={\color{red}2}\times {\color{blue}3}^{{\color{blue}4}}$$

Il est important de connaître les premiers nombres premiers : $$\color{red}(2\;;\;3\;;\;5\;;\;7\;;11\;;13\;;17\;;\;19\;;\;23).$$
On cherche les diviseurs de $$108$$ dans l'ordre croissant :
$$108$$ est divisible par $$2$$ ainsi : $$108={\color{red}2}\times 54$$
$$54$$ est divisible par $$2$$ ainsi : $$108={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times27$$
$$27$$ est divisible par $$3$$ ainsi : $$108={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{blue}3} \times9$$
$$9$$ est divisible par $$3$$ ainsi : $$108={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times {\color{blue}3}\times 3$$
$$3$$ est un nombre premier, donc la décomposition de $$108$$ en produits de facteurs premiers est alors :
$$108={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times {\color{blue}3}\times {\color{blue}3}$$ que l'on écrit : $$108={\color{red}2}^{{\color{red}2}}\times {\color{blue}3}^{{\color{blue}3}}$$

Pour que le cuisinier puisse réaliser $$36$$ barquettes, il faut que les nombres $$162$$ et $$108$$ soient divisible par 36.
1°) Déterminons si 108 est divisible par 36.
$$\frac{108}{36}=3$$
On peut donc en déduire que $$108$$ est divisible par 36 et que le cuisinier pourra mettre $$3$$ samossas par barquette.
2°) Déterminons si 162 est divisible par 36.
$$\frac{162}{36}=4,5$$$$\;\;$$
On peut donc en déduire que $$162$$ n'est pas divisible par 36.
On peut donc conclure que le cuisinier ne pourra pas réaliser 36 barquettes identiques.

Afin de déterminer le nombre maximal de paniers que peut réaliser le cuisinier, il nous faut déterminer le $$\color{red}PGCD\;(162\;;\;108)$$, c'est-à-dire le plus grand diviseur commun à 162 et 108.
À l'aide de la question $$1°)$$ et $$2°)$$, on sait que :
$$162=2\times3\times3\times3\times3$$
$$108=2\times2\times2\times3\times3\times3$$
On repère tous les facteurs communs à $$162$$ et $$108$$. $$($$Représenter en rouge ci-dessous$$).$$
$$162={\color{red}2}\times{\color{red}3}\times{\color{red}3}\times{\color{red}3}\times3$$
$$108={\color{red}2}\times2\times2\times{\color{red}3}\times{\color{red}3}\times{\color{red}3}$$
On peut donc conclure que le plus grand diviseur commun à $$162$$ et $$108$$ est $$2\times3\times3\times3\times3$$ soit $$\color{red}54$$.
Le cuisinier pourra donc réaliser au maximum $$\bf{54}$$ barquettes.

Ici, le cuisinier pourra réaliser au maximum $$54$$ barquettes. Par conséquent, on calcule :
$$\frac{108}{54}=2$$ $$\;\;$$ $$\color{red}\Rightarrow$$ $$\;\;$$ $$\frac{162}{54}=3$$
On peut donc conclure que le cuisinier pourra mettre $$\bf{2}$$ samossas, et $$\bf{3}$$ nems par barquette.