Résoudre des problèmes d'engrenages - Exercice 4

À chaque tour, les $$24$$ dents de la roue A passent.
Après $$5$$ tours : $$5\times24=120$$ dents sont passées.
On peut donc conclure que $$\color{blue}120$$ dents sont passées lorsque la roue A a fait $$5$$ tours.

Après $$120$$ dents passées, le point rouge de la roue B doit être revenu à sa position de départ (pour être en contact avec celui de la roue A).
La roue B a donc fait un nombre entier de tours. À chaque tour, toutes les dents de la roue B passent, donc :
$$120=\left(\text{nombre de tours de B}\right)\times\left(\text{nombre de dents de B}\right)$$
Le nombre $$120$$ est donc dans la table du nombre de dents de la roue B.
On peut donc conclure que le nombre de dents de la roue B doit être un diviseur de $$\color{blue}120$$.

$$1°)$$ On calcule la racine carrée de $$120$$, on obtient : $$\sqrt{120}\approx10{,}95$$.
$$2°)$$ On divise $$120$$ par tous les nombres entiers allant de $$1$$ à $$10$$ :
$$120:1=120$$$$\;\;$$ donc $${\color{blue}1}$$ et $${\color{blue}120}$$ sont des diviseurs de $$120.$$
$$120:2=60$$$$\;\;$$ donc $${\color{blue}2}$$ et $${\color{blue}60}$$ sont des diviseurs de $$120.$$
$$120:3=40$$$$\;\;$$ donc $${\color{blue}3}$$ et $${\color{blue}40}$$ sont des diviseurs de $$120.$$
$$120:4=30$$$$\;\;$$ donc $${\color{blue}4}$$ et $${\color{blue}30}$$ sont des diviseurs de $$120.$$
$$120:5=24$$$$\;\;$$ donc $${\color{blue}5}$$ et $${\color{blue}24}$$ sont des diviseurs de $$120.$$
$$120:6=20$$$$\;\;$$ donc $${\color{blue}6}$$ et $${\color{blue}20}$$ sont des diviseurs de $$120.$$
$$120:7\approx17{,}14$$$$\;\;$$ donc $${\color{red}7}$$ n'est pas un diviseur de $$\color{red}120.$$
$$120:8=15$$$$\;\;$$ donc $${\color{blue}8}$$ et $${\color{blue}15}$$ sont des diviseurs de $$120.$$
$$120:9\approx13{,}33$$$$\;\;$$ donc $${\color{red}9}$$ n'est pas un diviseur de $$\color{red}120.$$
$$120:10=12$$$$\;\;$$ donc $${\color{blue}10}$$ et $${\color{blue}12}$$ sont des diviseurs de $$120.$$On peut donc conclure que tous les diviseurs de $$120$$ sont : $${\color{blue}(1\;;\;2\;;\;3\;;\;4\;;\;5\;;\;6\;;\;8\;;\;10\;;\;12\;;\;15\;;\;20\;;\;24\;;\;{\color{red}\boxed{30}}\;;\;{\color{red}\boxed{40}}\;;\;60\;;\;120)}$$
Les diviseurs de $$120$$ compris entre $$30$$ et $$40$$ sont donc $$\color{blue}30$$ et $$\color{blue}40$$.

Les points rouges ne peuvent se retrouver en contact que lorsque la roue A a fait un nombre entier de tours, c'est-à-dire après $$24$$, $$48$$, $$72$$, $$96$$ ou $$120$$ dents passées. Il faut vérifier que la roue B n'a pas fait un nombre entier de tours avant $$120$$.
1°) Avec une roue B de $$30$$ dents :
$$\dfrac{24}{30}=0{,}8$$ ; $$\dfrac{48}{30}=1{,}6$$ ; $$\dfrac{72}{30}=2{,}4$$ ; $$\dfrac{96}{30}=3{,}2$$ $$\;\;\color{red}\Rightarrow\;\;$$ aucun nombre entier : pas de contact avant.
$$\dfrac{120}{30}=4$$ $$\;\;\color{red}\Rightarrow\;\;$$ la roue B a fait $$4$$ tours.
2°) Avec une roue B de $$40$$ dents :
$$\dfrac{24}{40}=0{,}6$$ ; $$\dfrac{48}{40}=1{,}2$$ ; $$\dfrac{72}{40}=1{,}8$$ ; $$\dfrac{96}{40}=2{,}4$$ $$\;\;\color{red}\Rightarrow\;\;$$ aucun nombre entier : pas de contact avant.
$$\dfrac{120}{40}=3$$ $$\;\;\color{red}\Rightarrow\;\;$$ la roue B a fait $$3$$ tours.
Remarque avec les décompositions : $$24={\color{red}2}^{{\color{red}3}}\times{\color{blue}3}$$, $$30={\color{red}2}\times{\color{blue}3}\times{\color{purple}5}$$ et $$40={\color{red}2}^{{\color{red}3}}\times{\color{purple}5}$$. Dans les deux cas, le plus petit multiple commun est $${\color{red}2}^{{\color{red}3}}\times{\color{blue}3}\times{\color{purple}5}=120$$.
On peut donc conclure que la roue B peut avoir $$\color{blue}30$$ dents (elle fait alors $$\color{blue}4$$ tours) ou $$\color{blue}40$$ dents (elle fait alors $$\color{blue}3$$ tours).