Résoudre des problèmes d'engrenages - Exercice 3

Il est important de connaître les premiers nombres premiers : $$\color{red}(2\;;\;3\;;\;5\;;\;7\;;\;11\;;\;13\;;\;17\;;\;19\;;\;23).$$1°) Décomposons $$20$$ en produit de facteurs premiers :
On cherche les diviseurs de $$20$$ dans l'ordre croissant :
$$20$$ est divisible par $$2$$ (c'est un nombre pair) ainsi : $$20={\color{red}2}\times 10$$
$$10$$ est divisible par $$2$$ (c'est un nombre pair) ainsi : $$20={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times 5$$
$$5$$ est un nombre premier, donc la décomposition de $$20$$ en produit de facteurs premiers est alors :
$$20={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{purple}5}$$ que l'on écrit : $$\boxed{20={\color{red}2}^{{\color{red}2}}\times {\color{purple}5}}$$
$$\begin{array}{|c|c|}\hline \textbf{Nombre} & \textbf{Diviseur}\\ \hline 20 & {\color{red}2}\\ 10 & {\color{red}2}\\ 5 & {\color{purple}5}\\ 1 & \\ \hline \end{array}$$
2°) Décomposons $$30$$ en produit de facteurs premiers :
On cherche les diviseurs de $$30$$ dans l'ordre croissant :
$$30$$ est divisible par $$2$$ (c'est un nombre pair) ainsi : $$30={\color{red}2}\times 15$$
$$15$$ est divisible par $$3$$ (car $$1+5=6$$ est dans la table de $$3$$) ainsi : $$30={\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times 5$$
$$5$$ est un nombre premier, donc la décomposition de $$30$$ en produit de facteurs premiers est alors :
$$30={\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times {\color{purple}5}$$ que l'on écrit : $$\boxed{30={\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times {\color{purple}5}}$$
$$\begin{array}{|c|c|}\hline \textbf{Nombre} & \textbf{Diviseur}\\ \hline 30 & {\color{red}2}\\ 15 & {\color{blue}3}\\ 5 & {\color{purple}5}\\ 1 & \\ \hline \end{array}$$
3°) Décomposons $$45$$ en produit de facteurs premiers :
On cherche les diviseurs de $$45$$ dans l'ordre croissant :
$$45$$ est divisible par $$3$$ (car $$4+5=9$$ est dans la table de $$3$$) ainsi : $$45={\color{blue}3}\times 15$$
$$15$$ est divisible par $$3$$ (car $$1+5=6$$ est dans la table de $$3$$) ainsi : $$45={\color{blue}3}\times {\color{blue}3}\times 5$$
$$5$$ est un nombre premier, donc la décomposition de $$45$$ en produit de facteurs premiers est alors :
$$45={\color{blue}3}\times {\color{blue}3}\times {\color{purple}5}$$ que l'on écrit : $$\boxed{45={\color{blue}3}^{{\color{blue}2}}\times {\color{purple}5}}$$
$$\begin{array}{|c|c|}\hline \textbf{Nombre} & \textbf{Diviseur}\\ \hline 45 & {\color{blue}3}\\ 15 & {\color{blue}3}\\ 5 & {\color{purple}5}\\ 1 & \\ \hline \end{array}$$

Les points rouges des roues A et B sont revenus en même temps à leur position de départ quand le nombre de dents passées est à la fois un multiple de $$20$$ et un multiple de $$30$$. On cherche donc le plus petit multiple commun à $$\color{red}20$$ et $$\color{red}30$$.
D'après la question 1 :
$$20={\color{red}2}^{{\color{red}2}}\times{\color{purple}5}$$
$$30={\color{red}2}\times{\color{blue}3}\times{\color{purple}5}$$
Facteur $$2$$ : on garde $${\color{red}2}^{{\color{red}2}}$$ (exposant $$2$$ dans $$20$$). Facteur $$3$$ : on garde $${\color{blue}3}$$. Facteur $$5$$ : on garde $${\color{purple}5}$$.
Le plus petit multiple commun est donc : $${\color{red}2}^{{\color{red}2}}\times{\color{blue}3}\times{\color{purple}5}=4\times3\times5=60$$
Vérification : $$\dfrac{60}{20}=3$$ et $$\dfrac{60}{30}=2$$ : ce sont bien des nombres entiers de tours.
On peut donc conclure que les points rouges des roues A et B reviennent en même temps à leur position de départ au bout de $$\color{blue}60$$ dents passées.

Cette fois, le nombre de dents passées doit être à la fois un multiple de $$20$$, de $$30$$ et de $$45$$ : on cherche le plus petit multiple commun à $$\color{red}20$$, $$\color{red}30$$ et $$\color{red}45$$.Attention : $$60$$ ne convient pas, car $$\dfrac{60}{45}\approx1{,}33$$ : la roue C n'a pas fait un nombre entier de tours.

D'après la question 1 :
$$20={\color{red}2}^{{\color{red}2}}\times{\color{purple}5}$$
$$30={\color{red}2}\times{\color{blue}3}\times{\color{purple}5}$$
$$45={\color{blue}3}^{{\color{blue}2}}\times{\color{purple}5}$$
Facteur $$2$$ : le plus grand exposant est $$2$$ (dans $$20$$), on garde $${\color{red}2}^{{\color{red}2}}$$.
Facteur $$3$$ : le plus grand exposant est $$2$$ (dans $$45$$), on garde $${\color{blue}3}^{{\color{blue}2}}$$.
Facteur $$5$$ : le plus grand exposant est $$1$$, on garde $${\color{purple}5}$$.
Le plus petit multiple commun est donc : $${\color{red}2}^{{\color{red}2}}\times{\color{blue}3}^{{\color{blue}2}}\times{\color{purple}5}=4\times9\times5=180$$
Vérification : $$\dfrac{180}{20}=9$$ ; $$\dfrac{180}{30}=6$$ ; $$\dfrac{180}{45}=4$$ : les trois roues ont bien fait un nombre entier de tours.
On peut donc conclure que les trois points rouges reviennent en même temps à leur position de départ au bout de $$\color{blue}180$$ dents passées.

D'après la question précédente, $$180$$ dents sont passées.
La roue A a $$20$$ dents : $$\dfrac{180}{20}=9$$ $$\;\;\color{red}\Rightarrow\;\;$$ la roue A a fait $$9$$ tours.
La roue B a $$30$$ dents : $$\dfrac{180}{30}=6$$ $$\;\;\color{red}\Rightarrow\;\;$$ la roue B a fait $$6$$ tours.
La roue C a $$45$$ dents : $$\dfrac{180}{45}=4$$ $$\;\;\color{red}\Rightarrow\;\;$$ la roue C a fait $$4$$ tours.
Vérification : $$9\times20=180$$ ; $$6\times30=180$$ et $$4\times45=180$$.
On peut donc conclure que la roue A a fait $$\color{blue}9$$ tours, la roue B $$\color{blue}6$$ tours et la roue C $$\color{blue}4$$ tours.