Résoudre des problèmes d'engrenages - Exercice 2

Il est important de connaître les premiers nombres premiers : $$\color{red}(2\;;\;3\;;\;5\;;\;7\;;\;11\;;\;13\;;\;17\;;\;19\;;\;23).$$1°) Décomposons $$36$$ en produit de facteurs premiers :
On cherche les diviseurs de $$36$$ dans l'ordre croissant :
$$36$$ est divisible par $$2$$ (c'est un nombre pair) ainsi : $$36={\color{red}2}\times 18$$
$$18$$ est divisible par $$2$$ (c'est un nombre pair) ainsi : $$36={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times 9$$
$$9$$ est divisible par $$3$$ (il est dans la table de $$3$$) ainsi : $$36={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times {\color{blue}3}$$
$$3$$ est un nombre premier, donc la décomposition de $$36$$ en produit de facteurs premiers est alors :
$$36={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times {\color{blue}3}$$ que l'on écrit : $$\boxed{36={\color{red}2}^{{\color{red}2}}\times {\color{blue}3}^{{\color{blue}2}}}$$
$$\begin{array}{|c|c|}\hline \textbf{Nombre} & \textbf{Diviseur}\\ \hline 36 & {\color{red}2}\\ 18 & {\color{red}2}\\ 9 & {\color{blue}3}\\ 3 & {\color{blue}3}\\ 1 & \\ \hline \end{array}$$
2°) Décomposons $$48$$ en produit de facteurs premiers :
On cherche les diviseurs de $$48$$ dans l'ordre croissant :
$$48$$ est divisible par $$2$$ (c'est un nombre pair) ainsi : $$48={\color{red}2}\times 24$$
$$24$$ est divisible par $$2$$ (c'est un nombre pair) ainsi : $$48={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times 12$$
$$12$$ est divisible par $$2$$ (c'est un nombre pair) ainsi : $$48={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{red}2}\times 6$$
$$6$$ est divisible par $$2$$ (c'est un nombre pair) ainsi : $$48={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{red}2}\times 3$$
$$3$$ est un nombre premier, donc la décomposition de $$48$$ en produit de facteurs premiers est alors :
$$48={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{blue}3}$$ que l'on écrit : $$\boxed{48={\color{red}2}^{{\color{red}4}}\times {\color{blue}3}}$$
$$\begin{array}{|c|c|}\hline \textbf{Nombre} & \textbf{Diviseur}\\ \hline 48 & {\color{red}2}\\ 24 & {\color{red}2}\\ 12 & {\color{red}2}\\ 6 & {\color{red}2}\\ 3 & {\color{blue}3}\\ 1 & \\ \hline \end{array}$$

Comme dans l'exercice précédent, le nombre de dents passées doit être à la fois un multiple de $$36$$ (pour que la roue A ait fait des tours complets) et un multiple de $$48$$ (pour la roue B).
On cherche donc le plus petit multiple commun à $$\color{red}36$$ et $$\color{red}48$$.D'après la question 1 :
$$36={\color{red}2}^{{\color{red}2}}\times{\color{blue}3}^{{\color{blue}2}}$$
$$48={\color{red}2}^{{\color{red}4}}\times{\color{blue}3}$$
Pour le facteur $$2$$ : les exposants sont $$2$$ et $$4$$, on garde le plus grand, c'est-à-dire $${\color{red}2}^{{\color{red}4}}$$.
Pour le facteur $$3$$ : les exposants sont $$2$$ et $$1$$, on garde le plus grand, c'est-à-dire $${\color{blue}3}^{{\color{blue}2}}$$.
Pourquoi ? Un multiple de $$36$$ doit contenir au moins $$2^{2}$$ et $$3^{2}$$ ; un multiple de $$48$$ doit contenir au moins $$2^{4}$$ et $$3$$. Pour être un multiple des deux, il doit donc contenir au moins $$2^{4}$$ et $$3^{2}$$.
Le plus petit multiple commun est donc : $${\color{red}2}^{{\color{red}4}}\times{\color{blue}3}^{{\color{blue}2}}=16\times9=144$$
Vérification avec la liste des multiples de $$48$$ :
$$\dfrac{48}{36}\approx1{,}33$$ $$\;\;$$ donc $$\color{red}48$$ n'est pas un multiple de $$\color{red}36$$.
$$\dfrac{96}{36}\approx2{,}67$$ $$\;\;$$ donc $$\color{red}96$$ n'est pas un multiple de $$\color{red}36$$.
$$\dfrac{144}{36}=4$$ $$\;\;$$ donc $$\color{blue}144$$ est bien un multiple de $$\color{blue}36$$ (et $$144=48\times3$$).
On peut donc conclure qu'il faut que $$\color{blue}144$$ dents passent pour que les points rouges se retrouvent en contact pour la première fois.

D'après la question précédente, $$144$$ dents sont passées.
La roue A a $$36$$ dents : $$\dfrac{144}{36}=4$$ $$\;\;\color{red}\Rightarrow\;\;$$ la roue A a fait $$4$$ tours.
La roue B a $$48$$ dents : $$\dfrac{144}{48}=3$$ $$\;\;\color{red}\Rightarrow\;\;$$ la roue B a fait $$3$$ tours.
Remarque : on retrouve ces nombres dans les décompositions : $$144=36\times{\color{red}2}^{{\color{red}2}}=36\times4$$ et $$144=48\times{\color{blue}3}$$.
On peut donc conclure que la roue A a fait $$\color{blue}4$$ tours et la roue B $$\color{blue}3$$ tours.

La roue A fait $$60$$ tours en $$1$$ minute, c'est-à-dire en $$60$$ secondes.
Donc un tour de la roue A dure : $$\dfrac{60}{60}=1$$ seconde.
D'après la question 3, la roue A doit faire $$4$$ tours : $$4\times1=4$$ secondes.
Vérification avec la roue B : en $$1$$ minute, $$60\times36=2\;160$$ dents passent, donc la roue B fait $$\dfrac{2\;160}{48}=45$$ tours par minute.
Elle doit faire $$3$$ tours, ce qui prend $$\dfrac{3}{45}=\dfrac{1}{15}$$ de minute, c'est-à-dire $$\dfrac{60}{15}=4$$ secondes.
On peut donc conclure que les deux points rouges se retrouvent en contact pour la première fois au bout de $$\color{blue}4$$ secondes.