Résoudre des problèmes d'engrenages - Exercice 1

Lorsque la roue A fait un tour complet, ses $$12$$ dents sont passées.
Or, à chaque dent de la roue A qui passe, une dent de la roue B passe aussi : $$12$$ dents de la roue B sont donc passées.
Pour faire un tour complet, la roue B doit faire passer ses $$18$$ dents.
Ici, $$12\lt 18$$ $$\;\;\color{red}\Rightarrow\;\;$$ il manque encore $$18-12=6$$ dents à la roue B pour finir son tour.
La roue B n'a fait que $$\dfrac{12}{18}=\dfrac{2}{3}$$ de tour.
On peut donc conclure que $$\color{blue}12$$ dents de la roue B sont passées et que la roue B n'a pas fait un tour complet.

1°) Les multiples de $$12$$ :
$$12\times1=12$$ ; $$12\times2=24$$ ; $$12\times3=36$$ ; $$12\times4=48$$ ; $$12\times5=60$$ ; $$12\times6=72$$
On s'arrête là, car $$12\times7=84$$ dépasse $$80$$.
Les multiples de $$12$$ jusqu'à $$80$$ sont : $${\color{blue}(12\;;\;24\;;\;{\color{red}\boxed{36}}\;;\;48\;;\;60\;;\;{\color{red}\boxed{72}})}$$
2°) Les multiples de $$18$$ :
$$18\times1=18$$ ; $$18\times2=36$$ ; $$18\times3=54$$ ; $$18\times4=72$$
On s'arrête là, car $$18\times5=90$$ dépasse $$80$$.
Les multiples de $$18$$ jusqu'à $$80$$ sont : $${\color{blue}(18\;;\;{\color{red}\boxed{36}}\;;\;54\;;\;{\color{red}\boxed{72}})}$$
On remarque que $$\color{red}36$$ et $$\color{red}72$$ sont dans les deux listes : ce sont des multiples communs à $$12$$ et à $$18$$.

Le point rouge de la roue A revient à sa position de départ à chaque tour de la roue A, c'est-à-dire quand le nombre de dents passées est un multiple de $$12$$.
Le point rouge de la roue B revient à sa position de départ à chaque tour de la roue B, c'est-à-dire quand le nombre de dents passées est un multiple de $$18$$.
Les deux points rouges se retrouvent donc en contact quand le nombre de dents passées est à la fois un multiple de $$\color{red}12$$ et un multiple de $$\color{red}18$$.
Comme on veut la première fois, on cherche le plus petit multiple commun à $$\color{red}12$$ et $$\color{red}18$$.
D'après la question 2, les multiples communs à $$12$$ et $$18$$ (jusqu'à $$80$$) sont $$36$$ et $$72$$ : le plus petit est $${\color{red}36}$$.
On peut donc conclure que les deux points rouges se retrouvent en contact pour la première fois au bout de $$\color{blue}36$$ dents passées.

D'après la question précédente, $$36$$ dents sont passées.
La roue A a $$12$$ dents : $$\dfrac{36}{12}=3$$ $$\;\;\color{red}\Rightarrow\;\;$$ la roue A a fait $$3$$ tours.
La roue B a $$18$$ dents : $$\dfrac{36}{18}=2$$ $$\;\;\color{red}\Rightarrow\;\;$$ la roue B a fait $$2$$ tours.
Vérification : $$3\times12=36$$ et $$2\times18=36$$.
On peut donc conclure que la roue A a fait $$\color{blue}3$$ tours et la roue B $$\color{blue}2$$ tours.