Problèmes défis : PGCD, carrés parfaits et multiples communs - Exercice 3

Il est important de connaître les premiers nombres premiers : $$\color{red}(2\;;\;3\;;\;5\;;\;7\;;\;11\;;\;13\;;\;17\;;\;19\;;\;23).$$1°) Décomposons $$84$$ en produit de facteurs premiers :
On cherche les diviseurs de $$84$$ dans l'ordre croissant :
$$84$$ est divisible par $$2$$ (c'est un nombre pair) ainsi : $$84={\color{red}2}\times 42$$
$$42$$ est divisible par $$2$$ (c'est un nombre pair) ainsi : $$84={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times 21$$
$$21$$ est divisible par $$3$$ (car $$2+1=3$$ est dans la table de $$3$$) ainsi : $$84={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times 7$$
$$7$$ est un nombre premier, donc la décomposition de $$84$$ en produit de facteurs premiers est alors :
$$84={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times {\color{green}7}$$ que l'on écrit : $$\boxed{84={\color{red}2}^{{\color{red}2}}\times {\color{blue}3}\times {\color{green}7}}$$
$$\begin{array}{|c|c|}\hline \textbf{Nombre} & \textbf{Diviseur}\\ \hline 84 & {\color{red}2}\\ 42 & {\color{red}2}\\ 21 & {\color{blue}3}\\ 7 & {\color{green}7}\\ 1 & \\ \hline \end{array}$$
2°) Décomposons $$60$$ en produit de facteurs premiers :
On cherche les diviseurs de $$60$$ dans l'ordre croissant :
$$60$$ est divisible par $$2$$ (c'est un nombre pair) ainsi : $$60={\color{red}2}\times 30$$
$$30$$ est divisible par $$2$$ (c'est un nombre pair) ainsi : $$60={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times 15$$
$$15$$ est divisible par $$3$$ (car $$1+5=6$$ est dans la table de $$3$$) ainsi : $$60={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times 5$$
$$5$$ est un nombre premier, donc la décomposition de $$60$$ en produit de facteurs premiers est alors :
$$60={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times {\color{purple}5}$$ que l'on écrit : $$\boxed{60={\color{red}2}^{{\color{red}2}}\times {\color{blue}3}\times {\color{purple}5}}$$
$$\begin{array}{|c|c|}\hline \textbf{Nombre} & \textbf{Diviseur}\\ \hline 60 & {\color{red}2}\\ 30 & {\color{red}2}\\ 15 & {\color{blue}3}\\ 5 & {\color{purple}5}\\ 1 & \\ \hline \end{array}$$

Lorsque la roue A fait un tour complet, $$84$$ dents de la roue A sont passées, donc $$84$$ dents de la roue B sont aussi passées.
Pour que le point rouge de la roue B revienne à sa position de départ, il faut que la roue B ait fait un nombre entier de tours, c'est-à-dire que le nombre de dents passées soit un multiple de 60 (dans la table de 60).
$$84=1\times60+24$$ $$\;\;\Rightarrow\;$$ $$84$$ n'est pas un multiple de $$60$$ : la roue B a fait un tour complet, plus $$24$$ dents (soit $$\dfrac{84}{60}=1{,}4$$ tour).
Les deux points rouges ne sont donc pas de nouveau en contact.

Pour que les deux points rouges se retrouvent en contact, il faut que chaque roue ait fait un nombre entier de tours, c'est-à-dire que le nombre de dents passées soit à la fois un multiple de $$\color{red}84$$ et un multiple de $$\color{red}60$$.
On cherche donc le plus petit multiple commun à $$\color{red}84$$ et $$\color{red}60$$ (autre que $$0$$).
1°) Méthode avec la liste des multiples :
Les multiples de $$84$$ sont : $$84\;;\;168\;;\;252\;;\;336\;;\;420\;;\;\ldots$$
On cherche le premier qui est aussi un multiple de $$60$$ :
$$\dfrac{84}{60}=1{,}4$$ $$\;\;$$ donc $$\color{red}84$$ n'est pas un multiple de $$\color{red}60$$.
$$\dfrac{168}{60}=2{,}8$$ $$\;\;$$ donc $$\color{red}168$$ n'est pas un multiple de $$\color{red}60$$.
$$\dfrac{252}{60}=4{,}2$$ $$\;\;$$ donc $$\color{red}252$$ n'est pas un multiple de $$\color{red}60$$.
$$\dfrac{336}{60}=5{,}6$$ $$\;\;$$ donc $$\color{red}336$$ n'est pas un multiple de $$\color{red}60$$.
$$\dfrac{420}{60}=7$$ $$\;\;$$ donc $$\color{blue}420$$ est bien un multiple de $$\color{blue}60$$.
2°) Méthode avec les décompositions :
D'après la question 1 : $$84={\color{red}2}^{{\color{red}2}}\times{\color{blue}3}\times{\color{green}7}$$ et $$60={\color{red}2}^{{\color{red}2}}\times{\color{blue}3}\times{\color{purple}5}$$
Un multiple commun à $$84$$ et $$60$$ doit contenir tous les facteurs de $$84$$ et tous les facteurs de $$60$$. Le plus petit est donc :
$${\color{red}2}^{{\color{red}2}}\times{\color{blue}3}\times{\color{purple}5}\times{\color{green}7}=420$$
Remarque : $$420=84\times{\color{purple}5}=60\times{\color{green}7}$$.
On peut donc conclure qu'il faut que $$\color{blue}420$$ dents passent au minimum.

D'après la question précédente, $$420$$ dents sont passées. On a donc :
$$\dfrac{420}{84}=5$$ $$\;\;\color{red}\Rightarrow\;\;$$ La roue A a fait $$5$$ tours.
$$\dfrac{420}{60}=7$$ $$\;\;\color{red}\Rightarrow\;\;$$ La roue B a fait $$7$$ tours.
Remarque : on retrouve les facteurs qui ne sont pas communs dans les décompositions : $$420=84\times{\color{purple}5}=60\times{\color{green}7}$$.
On peut donc conclure que la roue A aura fait $$\color{blue}5$$ tours et la roue B $$\color{blue}7$$ tours.

La roue A fait $$30$$ tours en $$1$$ minute, c'est-à-dire en $$60$$ secondes.
Donc un tour de la roue A dure : $$\dfrac{60}{30}=2$$ secondes.
D'après la question 4, la roue A doit faire $$5$$ tours : $$5\times2=10$$ secondes.
Vérification avec la roue B : en $$1$$ minute, $$30\times84=2\;520$$ dents passent, donc la roue B fait $$\dfrac{2\;520}{60}=42$$ tours par minute.
Elle doit faire $$7$$ tours, ce qui prend $$\dfrac{7}{42}=\dfrac{1}{6}$$ de minute, c'est-à-dire $$\dfrac{60}{6}=10$$ secondes.
On peut donc conclure que les deux points rouges se retrouvent en contact pour la première fois au bout de $$\color{blue}10$$ secondes.