Problèmes défis : PGCD, carrés parfaits et multiples communs - Exercice 2

Il est important de connaître les premiers nombres premiers : $$\color{red}(2\;;\;3\;;\;5\;;\;7\;;\;11\;;\;13\;;\;17\;;\;19\;;\;23).$$1°) Décomposons $$540$$ en produit de facteurs premiers :
On cherche les diviseurs de $$540$$ dans l'ordre croissant :
$$540$$ est divisible par $$2$$ (c'est un nombre pair) ainsi : $$540={\color{red}2}\times 270$$
$$270$$ est divisible par $$2$$ (c'est un nombre pair) ainsi : $$540={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times 135$$
$$135$$ est divisible par $$3$$ (car $$1+3+5=9$$ est dans la table de $$3$$) ainsi : $$540={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times 45$$
$$45$$ est divisible par $$3$$ (car $$4+5=9$$ est dans la table de $$3$$) ainsi : $$540={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times {\color{blue}3}\times 15$$
$$15$$ est divisible par $$3$$ (car $$1+5=6$$ est dans la table de $$3$$) ainsi : $$540={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times {\color{blue}3}\times {\color{blue}3}\times 5$$
$$5$$ est un nombre premier, donc la décomposition de $$540$$ en produit de facteurs premiers est alors :
$$540={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times {\color{blue}3}\times {\color{blue}3}\times {\color{purple}5}$$ que l'on écrit : $$\boxed{540={\color{red}2}^{{\color{red}2}}\times {\color{blue}3}^{{\color{blue}3}}\times {\color{purple}5}}$$
$$\begin{array}{|c|c|}\hline \textbf{Nombre} & \textbf{Diviseur}\\ \hline 540 & {\color{red}2}\\ 270 & {\color{red}2}\\ 135 & {\color{blue}3}\\ 45 & {\color{blue}3}\\ 15 & {\color{blue}3}\\ 5 & {\color{purple}5}\\ 1 & \\ \hline \end{array}$$

D'après la question 1, on a : $$540={\color{red}2}^{{\color{red}2}}\times{\color{blue}3}^{{\color{blue}3}}\times{\color{purple}5}^{{\color{purple}1}}$$
L'exposant de $$2$$ est $$2$$ : il est pair.
L'exposant de $$3$$ est $$3$$ : il est impair.
L'exposant de $$5$$ est $$1$$ : il est impair.
Les exposants de la décomposition de $$540$$ ne sont donc pas tous pairs.
Vérification : $$23^{2}=529$$ et $$24^{2}=576$$. Comme $$529\lt 540\lt 576$$, le nombre $$540$$ est compris entre deux carrés d'entiers consécutifs : il ne peut pas être le carré d'un entier.
On peut donc conclure que $$\color{blue}540$$ n'est pas un carré parfait.

Pour que $$540\times k$$ soit un carré parfait, il faut que tous les exposants de sa décomposition soient pairs.
$$540={\color{red}2}^{{\color{red}2}}\times{\color{blue}3}^{{\color{blue}3}}\times{\color{purple}5}^{{\color{purple}1}}$$
L'exposant de $$2$$ est déjà pair : il n'y a rien à ajouter.
L'exposant de $$3$$ est $$3$$ : il faut au moins un facteur $${\color{blue}3}$$ de plus pour obtenir l'exposant $$4$$.
L'exposant de $$5$$ est $$1$$ : il faut au moins un facteur $${\color{purple}5}$$ de plus pour obtenir l'exposant $$2$$.
Le nombre $$k$$ doit donc contenir au moins les facteurs $$3$$ et $$5$$ : le plus petit possible est $$k={\color{blue}3}\times{\color{purple}5}=15$$.

$$540\times15={\color{red}2}^{{\color{red}2}}\times{\color{blue}3}^{{\color{blue}3}}\times{\color{purple}5}\times{\color{blue}3}\times{\color{purple}5}$$
$$540\times15={\color{red}2}^{{\color{red}2}}\times{\color{blue}3}^{{\color{blue}4}}\times{\color{purple}5}^{{\color{purple}2}}$$ $$\;\;\color{red}\Rightarrow\;\;$$ Tous les exposants sont pairs.
$$540\times15={\color{red}2}^{{\color{red}2}}\times\left({\color{blue}3}^{{\color{blue}2}}\right)^{2}\times{\color{purple}5}^{{\color{purple}2}}$$
$$540\times15=\left({\color{red}2}\times{\color{blue}3}^{{\color{blue}2}}\times{\color{purple}5}\right)^{2}$$
$$\boxed{540\times15=90^{2}}$$
Vérification : $$540\times15=8\;100$$ et $$90^{2}=90\times90=8\;100$$.
On peut donc conclure que $$\color{blue}k=15$$ et que $$540\times15=8\;100$$ est le carré de $$\color{blue}90$$.

Pour que $$540\times m$$ soit un cube parfait, il faut que tous les exposants de sa décomposition soient des multiples de $$3.$$
$$540={\color{red}2}^{{\color{red}2}}\times{\color{blue}3}^{{\color{blue}3}}\times{\color{purple}5}^{{\color{purple}1}}$$
L'exposant de $$2$$ est $$2$$ : il manque un facteur $${\color{red}2}$$ pour obtenir l'exposant $$3$$.
L'exposant de $$3$$ est $$3$$ : c'est déjà un multiple de $$3$$, il n'y a rien à ajouter.
L'exposant de $$5$$ est $$1$$ : il manque deux facteurs $${\color{purple}5}$$ pour obtenir l'exposant $$3$$.
Le plus petit entier possible est donc $$m={\color{red}2}\times{\color{purple}5}^{{\color{purple}2}}=2\times25=50$$.

$$540\times50={\color{red}2}^{{\color{red}2}}\times{\color{blue}3}^{{\color{blue}3}}\times{\color{purple}5}\times{\color{red}2}\times{\color{purple}5}^{{\color{purple}2}}$$
$$540\times50={\color{red}2}^{{\color{red}3}}\times{\color{blue}3}^{{\color{blue}3}}\times{\color{purple}5}^{{\color{purple}3}}$$ $$\;\;\color{red}\Rightarrow\;\;$$ Tous les exposants sont égaux à $$3$$.
$$540\times50=\left({\color{red}2}\times{\color{blue}3}\times{\color{purple}5}\right)^{3}$$
$$\boxed{540\times50=30^{3}}$$
Vérification : $$540\times50=27\;000$$ et $$30^{3}=30\times30\times30=27\;000$$.
On peut donc conclure que $$\color{blue}m=50$$ et que $$540\times50=27\;000$$ est le cube de $$\color{blue}30$$.

D'après les questions précédentes, il faut que tous les exposants de la décomposition de $$540\times p$$ soient à la fois pairs et multiples de $$3$$, c'est-à-dire des multiples de $$\color{red}6$$ (les multiples communs à $$2$$ et à $$3$$ sont $$6\;;\;12\;;\;18\;;\;\ldots$$).
$$540={\color{red}2}^{{\color{red}2}}\times{\color{blue}3}^{{\color{blue}3}}\times{\color{purple}5}^{{\color{purple}1}}$$
Pour $$2$$ : on passe de l'exposant $$2$$ à l'exposant $$6$$, il manque $${\color{red}2}^{{\color{red}4}}$$.
Pour $$3$$ : on passe de l'exposant $$3$$ à l'exposant $$6$$, il manque $${\color{blue}3}^{{\color{blue}3}}$$.
Pour $$5$$ : on passe de l'exposant $$1$$ à l'exposant $$6$$, il manque $${\color{purple}5}^{{\color{purple}5}}$$.
Donc : $$p={\color{red}2}^{{\color{red}4}}\times{\color{blue}3}^{{\color{blue}3}}\times{\color{purple}5}^{{\color{purple}5}}=16\times27\times3\;125=1\;350\;000$$

On obtient alors : $$540\times p={\color{red}2}^{{\color{red}6}}\times{\color{blue}3}^{{\color{blue}6}}\times{\color{purple}5}^{{\color{purple}6}}=\left(2\times3\times5\right)^{6}=30^{6}$$
C'est bien un carré parfait : $$30^{6}=\left(30^{3}\right)^{2}=27\;000^{2}$$
C'est bien un cube parfait : $$30^{6}=\left(30^{2}\right)^{3}=900^{3}$$
Vérification : $$540\times1\;350\;000=729\;000\;000$$ et $$30^{6}=729\;000\;000$$.
On peut donc conclure que $$\color{blue}p=1\;350\;000$$ : $$540\times p=729\;000\;000$$ est à la fois le carré de $$27\;000$$ et le cube de $$900$$.