Problèmes défis : PGCD, carrés parfaits et multiples communs - Exercice 1

Il est important de connaître les premiers nombres premiers : $$\color{red}(2\;;\;3\;;\;5\;;\;7\;;\;11\;;\;13\;;\;17\;;\;19\;;\;23).$$1°) Décomposons $$1\;386$$ en produit de facteurs premiers :
On cherche les diviseurs de $$1\;386$$ dans l'ordre croissant :
$$1\;386$$ est divisible par $$2$$ (c'est un nombre pair) ainsi : $$1\;386={\color{red}2}\times 693$$
$$693$$ est divisible par $$3$$ (car $$6+9+3=18$$ est dans la table de $$3$$) ainsi : $$1\;386={\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times 231$$
$$231$$ est divisible par $$3$$ (car $$2+3+1=6$$ est dans la table de $$3$$) ainsi : $$1\;386={\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times {\color{blue}3}\times 77$$
$$77$$ est divisible par $$7$$ (il est dans la table de $$7$$) ainsi : $$1\;386={\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times {\color{blue}3}\times {\color{green}7}\times 11$$
$$11$$ est un nombre premier, donc la décomposition de $$1\;386$$ en produit de facteurs premiers est alors :
$$1\;386={\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times {\color{blue}3}\times {\color{green}7}\times {\color{orange}11}$$ que l'on écrit : $$\boxed{1\;386={\color{red}2}\times {\color{blue}3}^{{\color{blue}2}}\times {\color{green}7}\times {\color{orange}11}}$$
$$\begin{array}{|c|c|}\hline \textbf{Nombre} & \textbf{Diviseur}\\ \hline 1\;386 & {\color{red}2}\\ 693 & {\color{blue}3}\\ 231 & {\color{blue}3}\\ 77 & {\color{green}7}\\ 11 & {\color{orange}11}\\ 1 & \\ \hline \end{array}$$
2°) Décomposons $$1\;155$$ en produit de facteurs premiers :
On cherche les diviseurs de $$1\;155$$ dans l'ordre croissant :
$$1\;155$$ est divisible par $$3$$ (car $$1+1+5+5=12$$ est dans la table de $$3$$) ainsi : $$1\;155={\color{blue}3}\times 385$$
$$385$$ est divisible par $$5$$ (son chiffre des unités est $$5$$) ainsi : $$1\;155={\color{blue}3}\times {\color{purple}5}\times 77$$
$$77$$ est divisible par $$7$$ (il est dans la table de $$7$$) ainsi : $$1\;155={\color{blue}3}\times {\color{purple}5}\times {\color{green}7}\times 11$$
$$11$$ est un nombre premier, donc la décomposition de $$1\;155$$ en produit de facteurs premiers est alors :
$$1\;155={\color{blue}3}\times {\color{purple}5}\times {\color{green}7}\times {\color{orange}11}$$ que l'on écrit : $$\boxed{1\;155={\color{blue}3}\times {\color{purple}5}\times {\color{green}7}\times {\color{orange}11}}$$
$$\begin{array}{|c|c|}\hline \textbf{Nombre} & \textbf{Diviseur}\\ \hline 1\;155 & {\color{blue}3}\\ 385 & {\color{purple}5}\\ 77 & {\color{green}7}\\ 11 & {\color{orange}11}\\ 1 & \\ \hline \end{array}$$
3°) Décomposons $$924$$ en produit de facteurs premiers :
On cherche les diviseurs de $$924$$ dans l'ordre croissant :
$$924$$ est divisible par $$2$$ (c'est un nombre pair) ainsi : $$924={\color{red}2}\times 462$$
$$462$$ est divisible par $$2$$ (c'est un nombre pair) ainsi : $$924={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times 231$$
$$231$$ est divisible par $$3$$ (car $$2+3+1=6$$ est dans la table de $$3$$) ainsi : $$924={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times 77$$
$$77$$ est divisible par $$7$$ (il est dans la table de $$7$$) ainsi : $$924={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times {\color{green}7}\times 11$$
$$11$$ est un nombre premier, donc la décomposition de $$924$$ en produit de facteurs premiers est alors :
$$924={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times {\color{green}7}\times {\color{orange}11}$$ que l'on écrit : $$\boxed{924={\color{red}2}^{{\color{red}2}}\times {\color{blue}3}\times {\color{green}7}\times {\color{orange}11}}$$
$$\begin{array}{|c|c|}\hline \textbf{Nombre} & \textbf{Diviseur}\\ \hline 924 & {\color{red}2}\\ 462 & {\color{red}2}\\ 231 & {\color{blue}3}\\ 77 & {\color{green}7}\\ 11 & {\color{orange}11}\\ 1 & \\ \hline \end{array}$$

Afin de déterminer le nombre maximal de bouquets qu'il peut réaliser, il nous faut déterminer le plus grand diviseur commun à $$\color{red}1\;386$$, $$\color{red}1\;155$$ et $$\color{red}924$$ (qu'on appelle aussi le PGCD).
En effet, le nombre de bouquets doit être un diviseur de chacun des trois nombres, et on cherche le plus grand.

D'après la question 1, on identifie les facteurs premiers communs aux trois nombres :
$$1\;386=2\times{\color{red}3}\times3\times{\color{red}7}\times{\color{red}11}$$
$$1\;155={\color{red}3}\times5\times{\color{red}7}\times{\color{red}11}$$
$$924=2\times2\times{\color{red}3}\times{\color{red}7}\times{\color{red}11}$$
Attention : le facteur $$2$$ apparaît dans $$1\;386$$ et dans $$924$$, mais pas dans $$1\;155$$ (qui est impair) : il n'est donc pas commun aux trois nombres. De même, le facteur $$3$$ apparaît deux fois dans $$1\;386$$ mais une seule fois dans les deux autres nombres : on ne le prend qu'une seule fois.
Donc : $$\text{PGCD}\left(1\;386\;;\;1\;155\;;\;924\right)={\color{red}3}\times{\color{red}7}\times{\color{red}11}=231$$
On peut donc conclure qu'il pourra réaliser $$\color{blue}231$$ bouquets au maximum.

De la question précédente, on sait qu'il peut réaliser au maximum $$231$$ bouquets. On a donc :
$$\dfrac{1\;386}{231}=6$$ $$\;\;\color{red}\Rightarrow\;\;$$ On aura donc $$6$$ roses par bouquet.
$$\dfrac{1\;155}{231}=5$$ $$\;\;\color{red}\Rightarrow\;\;$$ On aura donc $$5$$ tulipes par bouquet.
$$\dfrac{924}{231}=4$$ $$\;\;\color{red}\Rightarrow\;\;$$ On aura donc $$4$$ lys par bouquet.
Remarque : on retrouve ces nombres dans les décompositions, ce sont les facteurs qui ne sont pas communs : $$1\;386=231\times\left(2\times3\right)$$, $$1\;155=231\times5$$ et $$924=231\times\left(2\times2\right)$$.
Chaque bouquet contient donc $$6+5+4=15$$ fleurs.
On peut donc conclure que chaque bouquet est composé de $$\color{blue}6$$ roses, $$\color{blue}5$$ tulipes et $$\color{blue}4$$ lys, soit $$15$$ fleurs.

Le nombre de bouquets doit toujours être un diviseur commun à $$1\;386$$, $$1\;155$$ et $$924$$.
D'après la question 2, un tel diviseur ne peut contenir que les facteurs premiers communs $${\color{blue}3}$$, $${\color{green}7}$$ et $${\color{orange}11}$$, chacun au plus une fois : c'est donc un diviseur de $$\color{red}231={\color{blue}3}\times{\color{green}7}\times{\color{orange}11}$$.
1°) Déterminons la liste des diviseurs de $$231$$ :
Ce sont $$1$$, chacun des facteurs premiers, et tous leurs produits :
$$1\;;\;{\color{blue}3}\;;\;{\color{green}7}\;;\;{\color{orange}11}\;;\;{\color{blue}3}\times{\color{green}7}=21\;;\;{\color{blue}3}\times{\color{orange}11}=33\;;\;{\color{green}7}\times{\color{orange}11}=77\;;\;{\color{blue}3}\times{\color{green}7}\times{\color{orange}11}=231$$
2°) Cherchons le plus grand nombre de bouquets possible :
Au total, le fleuriste a $$1\;386+1\;155+924=3\;465$$ fleurs. On teste les diviseurs de $$231$$, du plus grand au plus petit :
$$231$$ bouquets : $$\dfrac{3\;465}{231}=15$$ fleurs par bouquet $$\;\;\color{red}\Rightarrow\;\;$$ $$\color{red}15\lt 40$$, ce n'est pas suffisant.
$$77$$ bouquets : $$\dfrac{3\;465}{77}=45$$ fleurs par bouquet $$\;\;\color{red}\Rightarrow\;\;$$ $$\color{blue}45\ge 40$$, cela convient.
Comme $$77$$ est le plus grand diviseur de $$231$$ qui convient, c'est le nombre maximal de bouquets.
3°) Composition d'un bouquet :
$$\dfrac{1\;386}{77}=18$$ $$\;\;\color{red}\Rightarrow\;\;$$ $$18$$ roses par bouquet.
$$\dfrac{1\;155}{77}=15$$ $$\;\;\color{red}\Rightarrow\;\;$$ $$15$$ tulipes par bouquet.
$$\dfrac{924}{77}=12$$ $$\;\;\color{red}\Rightarrow\;\;$$ $$12$$ lys par bouquet.
Vérification : $$18+15+12=45$$ fleurs.
On peut donc conclure qu'il pourra réaliser $$\color{blue}77$$ bouquets au maximum, composés chacun de $$\color{blue}18$$ roses, $$\color{blue}15$$ tulipes et $$\color{blue}12$$ lys.