Métropole 30 juin 2026 - Exercice 1

Pour constituer $$16$$ sachets, il faut que les nombres $$112$$ et $$140$$ soient divisibles par $$16$$.
1°) Déterminons si $$112$$ est divisible par $$16$$.
$$\dfrac{112}{16}=7$$
On peut donc en déduire que $$112$$ est divisible par $$16$$ : on mettrait $$7$$ bonbons à la fraise par sachet.
2°) Déterminons si $$140$$ est divisible par $$16$$.
$$\dfrac{140}{16}=8{,}75$$
On peut donc en déduire que $$140$$ n'est pas divisible par $$16$$.
On peut donc conclure qu'on ne peut pas constituer $$16$$ sachets identiques.

Il est important de connaître les premiers nombres premiers : $$\color{red}(2\;;\;3\;;\;5\;;\;7\;;\;11\;;\;13\;;\;17\;;\;19\;;\;23)$$.Décomposons $$140$$ en produit de facteurs premiers :
On cherche les diviseurs premiers de $$140$$ dans l'ordre croissant :
$$140$$ est divisible par $$2$$ (c'est un nombre pair) ainsi : $$140={\color{red}2}\times 70$$
$$70$$ est divisible par $$2$$ (c'est un nombre pair) ainsi : $$140={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times 35$$
$$35$$ n'est divisible ni par $$2$$ (il est impair), ni par $$3$$ (car $$3+5=8$$ n'est pas dans la table de $$3$$), mais il est divisible par $$5$$ (il se termine par $$5$$) ainsi : $$140={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{purple}5}\times 7$$
$$7$$ est un nombre premier, donc la décomposition de $$140$$ en produit de facteurs premiers est alors :
$$140={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{purple}5}\times {\color{green}7}$$ que l'on écrit : $$\boxed{140={\color{red}2}^{{\color{red}2}}\times {\color{purple}5}\times {\color{green}7}}$$

Le nombre de sachets doit diviser à la fois $$112$$ et $$140$$. Afin de déterminer le nombre maximal de sachets, il nous faut déterminer le $$\color{red}PGCD\;(112\;;\;140)$$, c'est-à-dire le plus grand diviseur commun à $$112$$ et $$140$$.
On sait que :
$$112={\color{red}2}\times{\color{red}2}\times{\color{red}2}\times{\color{red}2}\times{\color{green}7}$$
$$140={\color{red}2}\times{\color{red}2}\times{\color{purple}5}\times{\color{green}7}$$
On repère tous les facteurs communs à $$112$$ et $$140$$ (entourés ci-dessous) :Le plus grand diviseur commun à $$112$$ et $$140$$ est $$2\times 2\times 7$$ soit $$\color{red}28$$.
Composition de chaque sachet :
$$\dfrac{112}{28}=4$$ bonbons à la fraise $$\;\;$$ et $$\;\;$$ $$\dfrac{140}{28}=5$$ bonbons au caramel.
Chaque sachet contiendra $$4$$ bonbons à la fraise et $$5$$ bonbons au caramel.