Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 2

Il est important de connaître les premiers nombres premiers : $$\color{red}(2\;;\;3\;;\;5\;;\;7\;;\;11\;;\;13\;;\;17\;;\;19\;;\;23).$$1°) Décomposons $$588$$ en produit de facteurs premiers :
On cherche les diviseurs de $$588$$ dans l'ordre croissant :
$$588$$ est divisible par $$2$$ (c'est un nombre pair) ainsi : $$588={\color{red}2}\times 294$$
$$294$$ est divisible par $$2$$ (c'est un nombre pair) ainsi : $$588={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times 147$$
$$147$$ est divisible par $$3$$ (car $$1+4+7=12$$ est dans la table de $$3$$) ainsi : $$588={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times 49$$
$$49$$ est divisible par $$7$$ (il est dans la table de $$7$$) ainsi : $$588={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times {\color{green}7}\times {\color{green}7}$$
$$7$$ est un nombre premier, donc la décomposition de $$588$$ en produit de facteurs premiers est alors :
$$588={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times {\color{green}7}\times {\color{green}7}$$ que l'on écrit : $$\boxed{588={\color{red}2}^{{\color{red}2}}\times {\color{blue}3}\times {\color{green}7}^{{\color{green}2}}}$$
$$\begin{array}{|c|c|}\hline \textbf{Nombre} & \textbf{Diviseur}\\ \hline 588 & {\color{red}2}\\ 294 & {\color{red}2}\\ 147 & {\color{blue}3}\\ 49 & {\color{green}7}\\ 7 & {\color{green}7}\\ 1 & \\ \hline \end{array}$$
2°) Décomposons $$420$$ en produit de facteurs premiers :
On cherche les diviseurs de $$420$$ dans l'ordre croissant :
$$420$$ est divisible par $$2$$ (c'est un nombre pair) ainsi : $$420={\color{red}2}\times 210$$
$$210$$ est divisible par $$2$$ (c'est un nombre pair) ainsi : $$420={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times 105$$
$$105$$ est divisible par $$3$$ (car $$1+0+5=6$$ est dans la table de $$3$$) ainsi : $$420={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times 35$$
$$35$$ est divisible par $$5$$ (son chiffre des unités est $$5$$) ainsi : $$420={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times {\color{purple}5}\times 7$$
$$7$$ est un nombre premier, donc la décomposition de $$420$$ en produit de facteurs premiers est alors :
$$420={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times {\color{purple}5}\times {\color{green}7}$$ que l'on écrit : $$\boxed{420={\color{red}2}^{{\color{red}2}}\times {\color{blue}3}\times {\color{purple}5}\times {\color{green}7}}$$
$$\begin{array}{|c|c|}\hline \textbf{Nombre} & \textbf{Diviseur}\\ \hline 420 & {\color{red}2}\\ 210 & {\color{red}2}\\ 105 & {\color{blue}3}\\ 35 & {\color{purple}5}\\ 7 & {\color{green}7}\\ 1 & \\ \hline \end{array}$$

La pièce mesure $$588$$ cm de longueur et $$420$$ cm de largeur.
Afin de savoir si on peut utiliser des dalles de $$21$$ cm de côté (sans découpe), il nous faut savoir si la longueur et la largeur sont des multiples de 21 (c'est-à-dire dans la table de 21).
D'après la question 1, on a : $$21={\color{blue}3}\times{\color{green}7}$$.
$$588={\color{red}2}^{{\color{red}2}}\times{\color{blue}3}\times{\color{green}7}^{{\color{green}2}}=\left({\color{blue}3}\times{\color{green}7}\right)\times\left({\color{red}2}^{{\color{red}2}}\times{\color{green}7}\right)=21\times28$$ $$\;\;\Rightarrow\;$$ On en déduit ici que la longueur est bien un multiple de $$21$$, donc il n'y aura pas de découpe pour la longueur.
$$420={\color{red}2}^{{\color{red}2}}\times{\color{blue}3}\times{\color{purple}5}\times{\color{green}7}=\left({\color{blue}3}\times{\color{green}7}\right)\times\left({\color{red}2}^{{\color{red}2}}\times{\color{purple}5}\right)=21\times20$$ $$\;\;\Rightarrow\;$$ On en déduit ici que la largeur est bien un multiple de $$21$$, donc il n'y aura pas de découpe pour la largeur.On peut donc utiliser des dalles de 21 cm de côté.
Calculons maintenant le nombre de dalles :
$$\frac{588}{21}=28$$ $$\;\;\color{red}\Rightarrow\;\;$$ On aura donc $$28$$ dalles en longueur.
$$\frac{420}{21}=20$$ $$\;\;\color{red}\Rightarrow\;\;$$ On aura donc $$20$$ dalles en largeur.
Au total, il faudra donc $$\color{blue}28\times20=560$$ dalles.

Afin de déterminer la plus grande dalle possible, il nous faut déterminer le plus grand diviseur commun à $$\color{red}588$$ et $$\color{red}420$$ (qu'on appelle aussi le PGCD).
En effet, le côté d'une dalle doit être un diviseur de $$588$$ et de $$420$$, et on cherche le plus grand.

D'après la question 1, on identifie les facteurs premiers communs à $$588$$ et $$420$$ :
$$588={\color{red}2}\times{\color{red}2}\times{\color{red}3}\times{\color{red}7}\times7$$
$$420={\color{red}2}\times{\color{red}2}\times{\color{red}3}\times5\times{\color{red}7}$$
Donc : $$\text{PGCD}\left(588\;;\;420\right)={\color{red}2}\times{\color{red}2}\times{\color{red}3}\times{\color{red}7}=84$$
La plus grande dalle possible mesure donc $$\color{blue}84$$ cm de côté.
Calculons maintenant le nombre de dalles :
$$\frac{588}{84}=7$$ $$\;\;\color{red}\Rightarrow\;\;$$ On aura donc $$7$$ dalles en longueur.
$$\frac{420}{84}=5$$ $$\;\;\color{red}\Rightarrow\;\;$$ On aura donc $$5$$ dalles en largeur.
Au total, il faudra donc $$\color{blue}7\times5=35$$ dalles.

D'après la question 1, on a : $$588={\color{red}2}^{{\color{red}2}}\times{\color{blue}3}\times{\color{green}7}^{{\color{green}2}}$$
Dans cette décomposition, le facteur $${\color{blue}3}$$ n'apparaît qu'une seule fois : c'est pour cela que l'on multiplie par $$3$$.
$$588\times3={\color{red}2}^{{\color{red}2}}\times{\color{blue}3}\times{\color{green}7}^{{\color{green}2}}\times{\color{blue}3}$$
$$588\times3={\color{red}2}^{{\color{red}2}}\times{\color{blue}3}^{{\color{blue}2}}\times{\color{green}7}^{{\color{green}2}}$$ $$\;\;\color{red}\Rightarrow\;\;$$ Tous les exposants sont égaux à $$2$$.
$$588\times3=\left({\color{red}2}\times{\color{blue}3}\times{\color{green}7}\right)^{2}$$
$$\boxed{588\times3=42^{2}}$$
Vérification : $$588\times3=1\;764$$ et $$42^{2}=42\times42=1\;764$$.
On peut donc conclure que $$588\times3$$ est le carré du nombre entier $$\color{blue}42$$.