Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 1

Il est important de connaître les premiers nombres premiers : $$\color{red}(2\;;\;3\;;\;5\;;\;7\;;\;11\;;\;13\;;\;17\;;\;19\;;\;23).$$1°) Décomposons $$252$$ en produit de facteurs premiers :
On cherche les diviseurs de $$252$$ dans l'ordre croissant :
$$252$$ est divisible par $$2$$ (c'est un nombre pair) ainsi : $$252={\color{red}2}\times 126$$
$$126$$ est divisible par $$2$$ (c'est un nombre pair) ainsi : $$252={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times 63$$
$$63$$ est divisible par $$3$$ (car $$6+3=9$$ est dans la table de $$3$$) ainsi : $$252={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times 21$$
$$21$$ est divisible par $$3$$ (car $$2+1=3$$ est dans la table de $$3$$) ainsi : $$252={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times {\color{blue}3}\times 7$$
$$7$$ est un nombre premier, donc la décomposition de $$252$$ en produit de facteurs premiers est alors :
$$252={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times {\color{blue}3}\times {\color{green}7}$$ que l'on écrit : $$\boxed{252={\color{red}2}^{{\color{red}2}}\times {\color{blue}3}^{{\color{blue}2}}\times {\color{green}7}}$$
$$\begin{array}{|c|c|}\hline \textbf{Nombre} & \textbf{Diviseur}\\ \hline 252 & {\color{red}2}\\ 126 & {\color{red}2}\\ 63 & {\color{blue}3}\\ 21 & {\color{blue}3}\\ 7 & {\color{green}7}\\ 1 & \\ \hline \end{array}$$
2°) Décomposons $$180$$ en produit de facteurs premiers :
On cherche les diviseurs de $$180$$ dans l'ordre croissant :
$$180$$ est divisible par $$2$$ (c'est un nombre pair) ainsi : $$180={\color{red}2}\times 90$$
$$90$$ est divisible par $$2$$ (c'est un nombre pair) ainsi : $$180={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times 45$$
$$45$$ est divisible par $$3$$ (car $$4+5=9$$ est dans la table de $$3$$) ainsi : $$180={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times 15$$
$$15$$ est divisible par $$3$$ (car $$1+5=6$$ est dans la table de $$3$$) ainsi : $$180={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times {\color{blue}3}\times 5$$
$$5$$ est un nombre premier, donc la décomposition de $$180$$ en produit de facteurs premiers est alors :
$$180={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times {\color{blue}3}\times {\color{purple}5}$$ que l'on écrit : $$\boxed{180={\color{red}2}^{{\color{red}2}}\times {\color{blue}3}^{{\color{blue}2}}\times {\color{purple}5}}$$
$$\begin{array}{|c|c|}\hline \textbf{Nombre} & \textbf{Diviseur}\\ \hline 180 & {\color{red}2}\\ 90 & {\color{red}2}\\ 45 & {\color{blue}3}\\ 15 & {\color{blue}3}\\ 5 & {\color{purple}5}\\ 1 & \\ \hline \end{array}$$

Afin de préparer $$12$$ boîtes identiques en utilisant tous ses macarons, il faut que $$12$$ soit un diviseur de $$252$$ et de $$180$$.
$$\frac{252}{12}=21$$ $$\;\;\Rightarrow$$ Ici $$\color{blue}12$$ est bien un diviseur de $$\color{blue}252$$.
$$\frac{180}{12}=15$$ $$\;\;\Rightarrow$$ Ici $$\color{blue}12$$ est bien un diviseur de $$\color{blue}180$$.Remarque : on pouvait aussi le voir avec la question 1. En effet $$12={\color{red}2}^{{\color{red}2}}\times{\color{blue}3}$$ et ce produit se retrouve dans les deux décompositions :
$$252={\color{red}2}^{{\color{red}2}}\times{\color{blue}3}\times\left({\color{blue}3}\times{\color{green}7}\right)=12\times21$$
$$180={\color{red}2}^{{\color{red}2}}\times{\color{blue}3}\times\left({\color{blue}3}\times{\color{purple}5}\right)=12\times15$$
On peut donc conclure qu'il peut préparer $$12$$ boîtes, composées chacune de $$\color{blue}21$$ macarons au chocolat et de $$\color{blue}15$$ macarons à la framboise.

Afin de déterminer le nombre maximal de boîtes qu'il peut préparer, il nous faut déterminer le plus grand diviseur commun à $$\color{red}252$$ et $$\color{red}180$$ (qu'on appelle aussi le PGCD).
En effet, le nombre de boîtes doit être un diviseur de $$252$$ et de $$180$$, et on cherche le plus grand.

D'après la question 1, on identifie les facteurs premiers communs à $$252$$ et $$180$$ :
$$252={\color{red}2}\times{\color{red}2}\times{\color{red}3}\times{\color{red}3}\times7$$
$$180={\color{red}2}\times{\color{red}2}\times{\color{red}3}\times{\color{red}3}\times5$$
Donc : $$\text{PGCD}\left(252\;;\;180\right)={\color{red}2}\times{\color{red}2}\times{\color{red}3}\times{\color{red}3}=2^{2}\times3^{2}=36$$
On peut donc conclure qu'il pourra préparer $$\color{blue}36$$ boîtes au maximum.

De la question précédente, on sait qu'il peut préparer au maximum $$36$$ boîtes.
Or au total, il y a $$252$$ macarons au chocolat et $$180$$ macarons à la framboise. On a donc :
$$\frac{252}{36}=7$$ $$\;\;\color{red}\Rightarrow\;\;$$ On aura donc $$7$$ macarons au chocolat par boîte.
$$\frac{180}{36}=5$$ $$\;\;\color{red}\Rightarrow\;\;$$ On aura donc $$5$$ macarons à la framboise par boîte.
Remarque : on retrouve ces nombres dans les décompositions, ce sont les facteurs qui ne sont pas communs : $$252=36\times{\color{green}7}$$ et $$180=36\times{\color{purple}5}$$.
Vérification : $$36\times7=252$$ et $$36\times5=180$$, tous les macarons sont bien utilisés.
On peut donc conclure que chaque boîte contient $$\color{blue}7$$ macarons au chocolat et $$\color{blue}5$$ macarons à la framboise.