Sujet 1 - Exercice 1

15 min
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Question 1
Un nouveau lycée vient d'ouvrir ses portes. Il accueille 450450 élèves. Le directeur, fait une estimation, qu'à chaque nouvelle rentrée, il y aura 3535 élèves en plus. La capacité maximale du lycée est de 905905 élèves. On note unu_n le nombre d'élèves la nnième année .

Combien vaut u1u_1 ?

Correction
On note unu_n le nombre d'élèves la nnième année. Le terme u1u_1 correspond à la première année c'est à dire à l'ouverture de l'établissement. Ainsi :
u1=450u_1=450
Question 2

Calculer u2u_2 ?

Correction
Chaque année, le lycée accueille 3535 élèves de plus. Il en résulte donc que :
u2=u1+35u_2=u_1+35
u2=450+35u_2=450+35
u2=485u_2=485
Question 3

Déterminer la nature de la suite (un)\left(u_n\right) .

Correction
Chaque année, le lycée accueille 3535 élèves de plus. Chaque terme se déduit du précédent en ajoutant 3535. Il en résulte donc que la suite (un)\left(u_{n}\right) est arithmeˊtique{\color{blue}\text{arithmétique}} de raison r=35r=35.
Question 4

Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} .

Correction
Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique.
  • L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de reˊcurrence{\color{red}\text{la relation de récurrence}} : un+1=un+ru_{n+1} =u_{n} +r où rr est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite arithmétique.
    • Ainsi :
    un+1=un+35u_{n+1} =u_{n} +35

    Question 5
    On introduit l'expression de unu_n en fonction de nn qui modélise la relation de récurrence un+1=un+35u_{n+1} =u_{n} +35. Nous avons alors un=450+35nu_n=450+35n .

    Au bout de combien d'années, le lycée atteindra-t-il sa capacité maximale?

    Correction
    La capacité maximale de l'établissement est de 905905 élèves. Il va donc falloir résoudre l'équation un=950u_n=950 .
    Ainsi :
    450+35n=905450+35n=905 équivaut successivement à :
    35n=905−45035n=905-450
    35n=45535n=455
    n=45535n=\frac{455}{35}
    Ainsi :
    n=13n=13

    Or unu_n est le nombre d'élèves la nnième année. Il en résulte donc qu'à la treizième année, le lycée aura atteint sa capacité maximale .

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