Suites numériques

QCM - Exercice 2

6 min
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Question 1
Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples).
Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.
Il est bien sûr demandé de justifier !

Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique de raison q=2q=2 et de premier terme u0=3u_{0} =3. Alors :
  • u4=3+2×4u_{4} =3+2\times4
  • u4=2+3×4u_{4} =2+3\times4
  • u4=3×24u_{4} =3\times2^{4}
  • u4=2×34u_{4} =2\times3^{4}

Correction
La bonne réponse est cc.
Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn est :
  • un=u0×qnu_{n} =u_{0}\times q^{n} : lorsque le premier terme vaut u0u_{0} .
  • un=u1×qn−1u_{n} =u_{1}\times q^{n-1} : lorsque le premier terme vaut u1u_{1} .
    • Dans notre cas, le premier terme ici vaut u0=3u_{0} =3 et q=2q=2.
    Il en résulte donc que :
    un=3×2nu_{n} =3\times2^{n}

    Ensuite, nous pouvons calculer u4u_{4}.
    Il vient alors que : u4=3×24u_{4} =3\times2^{4}
    Question 2

    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique de raison r=3r=3 et de premier terme u0=5u_{0} =5. Alors la somme S=u0+u1+…+u7S=u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{7} est égale à :
    • 124124
    • 134134
    • 144144
    • 1640016400

    Correction
    La bonne réponse est aa .
    La somme des termes d'une suite arithmétique est donnée par la formule suivante :
    u0+u1+…+un=(nombres de termes)×(premier terme+dernier terme2)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)
    On sait que (un)\left(u_{n} \right) est une suite arithmétique de raison r=3r=3 et de u0=5u_{0} =5. Nous allons donc exprimer (un)\left(u_{n} \right) en fonction de nn. Ainsi :
    un=u0+n×ru_{n} =u_{0} +n\times r ce qui donne ici un=5+3nu_{n} =5+3n.
    Nous voulons calculer : S=u0+u1+…+u7S=u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{7} . Il nous faut donc le dernier terme de la suite c'est à dire u7=5+3×7=26u_{7} =5+3\times 7=26
    De plus, il y a en tout 88 termes en partant de u0 u_{0} à u7 u_{7}.
    On applique la formule :
    u0+u1+…+u7=(nombres de termes)×(premier terme+dernier terme2)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{7}=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)
    u0+u1+…+u7=8×(u0+u72)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{7}=8\times \left(\frac{u_{0} +u_{7} }{2} \right)
    u0+u1+…+u7=8×(5+262)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{7}=8\times \left(\frac{5+26}{2} \right)
    u0+u1+…+u7=124u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{7}=124
    Pour savoir le nombre de termes présents dans une somme, faites le calcul suivant : grand indice−petit indice+1\text{grand indice} - \text{petit indice} +1
  • La somme S=u0+u1+u2+…+unS=u_{0} +u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend n+1n+1 termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est 00. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−0+1=n+1n-0+1=n+1. Nous avons donc n+1n+1 termes.
  • La somme S=u1+u2+…+unS=u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend nn termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est 11. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−1+1=nn-1+1=n. Nous avons donc nn termes.
  • La somme S=up+up+1+…+unS=u_{p} +u_{p+1} +\ldots +u_{n} comprend n−p+1n-p+1 termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est pp. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−p+1=nn-p+1=n. Nous avons donc n−p+1n-p+1 termes.
  • La somme S=u5+u6+…+u22S=u_{5} +u_{6} +\ldots +u_{22} comprend 1818 termes. Ici le plus grand indice est 2222 , le plus petit indice est 55. Ainsi le nombre de termes est égale à : 22−5+1=1822-5+1=18. Nous avons donc 1818 termes.