Qui aura 20 en maths ?

💯 Teste ton niveau de maths et tente de gagner un des lots !S'inscrire au jeu  

Nouveau

🔥 Découvre nos fiches d'exercices gratuites avec corrections en vidéo !Accéder aux fiches  

Exercices types : 2ème partie - Exercice 1

25 min
40
Un employeur propose à ses salariés, aux choix de chacun, deux modes d'augmentation de leur salaire mensuel.
Option A : une augmentation fixe du salaire mensuel, de 6565 Euros au 11er janvier de chaque année.
Lina est embauchée dans l'entreprise avec un salaire de 14001400 euros. Elle choisit d'être augmentée suivant l'option AA. On note MnM_{n} son salaire après nn années dans l'entreprise. On a : M0=1400M_{0}=1400.
Question 1

Calculer M1M_{1} et M2M_{2}.

Correction
On a :
M1=1400+65M_{1}=1400+65 ainsi
M1=1465M_{1}=1465

M2=1465+65M_{2}=1465+65 ainsi
M2=1530M_{2}=1530

Question 2

Exprimer Mn+1M_{n+1} en fonction de MnM_{n}. En déduire la nature de la suite (Mn)\left(M_{n} \right).

Correction
Soit nn un entier naturel.
On a :
Mn+1=Mn+65M_{n+1}=M_{n}+65
. La suite (Jn)\left(J_{n} \right) est alors une suite arithmétique de raison r=65r=65 et de premier terme M0=1400M_{0}=1400.
Question 3

Exprimer MnM_{n} en fonction de nn.

Correction
D'après le cours , on sait que :
Mn=M0+n×rM_{n} =M_{0} +n\times r ce qui nous donne donc :
Mn=1400+65nM_{n} =1400+65n
.
Question 4

Calculer M15M_{15}

Correction
Comme Mn=1400+65nM_{n} =1400+65n alors M15=1400+65×15M_{15} =1400+65\times 15
Ainsi :
M15=2375M_{15} =2375
.
Question 5

A partir de combien d'années son salaire sera t-il au moins 25002500 euros? Une résolution algébrique est bien entendue demandée.

Correction
Nous voulons savoir quand Mn2500M_{n}\ge 2500. L'inéquation s'écrit également : 1400+65n25001400+65n\ge 2500.
1400+65n25001400+65n\ge 2500 équivaut succesivement à :
65n2500140065n\ge 2500-1400
65n110065n\ge 1100
n110065n\ge \frac{1100}{65} . or 11006516,92\frac{1100}{65}\approx16,92, on prend donc l'entier naturel supérieur à cette écriture décimale. Il vient alors que :
n17n\ge 17
Après 1717 années dans l'entreprise Lina aura un salaire d'au moins 25002500 euros.
Question 6
Option B : une augmentation de 3,53,5% du salaire mensuel de l'année précédente au 11er janvier de chaque année.
Adam est embauché dans l'entreprise avec un salaire de 14001400 euros. Il choisit d'être augmenté suivant l'option BB. On note JnJ_{n} son salaire après nn années dans l'entreprise. On a : J0=1400J_{0}=1400.

Calculer J1J_{1} et J2J_{2}. Arrondir à l'euros près si besoin.

Correction
On a :
J1=1400+1400×3,5100J_{1}=1400+1400\times \frac{3,5}{100} d'où
J1=1449J_{1}=1449

J2=1435+1435×3,5100J_{2}=1435+1435\times \frac{3,5}{100} d'où
J2=1500J_{2}=1500
Question 7

Exprimer Jn+1J_{n+1} en fonction de JnJ_{n}. En déduire la nature de la suite (Jn)\left(J_{n} \right).

Correction
Chaque année l'augmentation est de 3,53,5% , il nous faut donc multiplier par le coefficient multiplicateur 1+3,5100=1,0351+\frac{3,5}{100}=1,035
Ainsi, pour tout entier naturel nn, on a :
Jn+1=Jn×1,035J_{n+1}=J_{n}\times 1,035
. La suite (Jn)\left(J_{n} \right) est alors une suite géométrique de raison q=1,035q=1,035 et de premier terme J0=1400J_{0}=1400.
Question 8

Exprimer JnJ_{n} en fonction de nn.

Correction
D'après le cours , on sait que :
Jn=J0×qnJ_{n} =J_{0} \times q^{n} ce qui nous donne donc :
Jn=1400×1,035nJ_{n} =1400\times 1,035^{n}
Question 9

Calculer J15J_{15} . Arrondir à l'euros près.

Correction
Comme Jn=1400×1,035nJ_{n} =1400\times 1,035^{n} alors J15=1400×1,03515J_{15} =1400\times 1,035^{15}
Ainsi :
J15=2345J_{15} =2345
.
Question 10

A partir de combien d'années son salaire sera t-il au moins 25002500 euros? L'aide de la calculatrice ici est la bienvenue.

Correction
Nous voulons savoir quand Jn2500J_{n}\ge 2500. l'inéquation s'écrit également : 1400×1,035n25001400\times 1,035^{n}\ge 2500
Ici nous n'allons pas résoudre algébriquement cette inéquation. Nous allons utiliser la calculatrice. Pour cela, il vous faut entrer l'expression 1400×1,035n1400\times 1,035^{n} et avec le tableau de valeurs regarder à partir de quelle rang nous avons une valeur supérieur à 25002500.
Nous avons les données suivantes :
  • lorsque n=16n=16 nous obtenons 24272427
  • lorsque n=17n=17 nous obtenons 25122512
Après 1717 années dans l'entreprise Adam aura un salaire d'au moins 25002500 euros.
Question 11

A partir de combien d'années dans l'entreprise, le salaire d'Adam sera supérieur à celui de Lina.

Correction
Nous allons reprendre le même raisonnement que la question précédente. Nous allons entrer les expressions 1400×1,035n1400\times 1,035^{n} et 1400+65n1400+65n et avec le tableau de valeurs regarder à partir de quelle rang le salaire d'Adam sera supérieur à celui de Lina.
Nous avons les données suivantes :
  • lorsque n=16n=16 Lina aura un salaire de 24402440 euros et Adam un salaire de 24272427
  • lorsque n=17n=17 Lina aura un salaire de 25052505 euros et Adam un salaire de 25122512
Après 1717 années dans l'entreprise Adam aura un salaire supérieur à celui de Lina.