Comment déterminer l'expression d'une fonction polynôme du troisième degré à partir d'éléments graphiques ou de données - Exercice 2

D'après la représentation graphique, nous pouvons voir que la courbe $$\mathscr{C_f}$$ passe trois fois par l'axe des abscisses.
Autrement dit, on a : $$f\left(-1\right)=0$$ ; $$f\left(1\right)=0$$ et $$f\left(4\right)=0$$.
Les réels $$-1$$, $$1$$ et $$4$$ sont alors les racines de $$f$$.
On note alors par exemple que : $$x_1=-1$$ ; $$x_2=1$$ et $$x_3=4$$ .
D'après le rappel, nous pouvons alors écrire que :
$$f\left(x\right)=a\left(x-\left(-1\right) \right)\left(x-1 \right)\left(x-4 \right)$$
ou encore :
$$f\left(x\right)=a\left(x+1 \right)\left(x-1 \right)\left(x-4 \right)$$
De plus, nous pouvons lire, sur le graphique, que $$f\left(3\right)=12$$ . Cette information va nous permettre de déterminer la valeur du réel $$a$$.
Il s'ensuit que :
$$f\left(3\right)=12$$
$$a\left(3-\left(-1\right) \right)\left(3-1 \right)\left(3-4 \right)=12$$
$$a\left(\red{3+1 }\right)\left(\blue{3-1} \right)\left(\pink{3-4 }\right)=12$$
$$a\times\red{4}\times\blue{2}\times\pink{\left(-1\right)}=12$$
$$a\times\left(-8\right)=12$$
$$a=\frac{12}{-8}$$
Soit :
La fonction polynôme de degré $$3$$ dont la représentation est donnée ci-dessus s'écrit alors :