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Dérivation

Déterminer les extrema d'une fonction - Exercice 1

20 min
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On considère la fonction ff définie sur [0;3]\left[0;3\right] par f(x)=3x212x+1f\left(x\right)=3x^{2}-12x+1 .
Question 1

Donner l'expression de sa fonction dérivée notée ff' .

Correction
  • La dérivée d'un nombre{\color{blue}nombre} est 0.{\color{blue}0} .
  • La dérivée d'un nombre×x{\color{blue}nombre\times x} est nombre.{\color{blue}nombre} .
  • La dérivée de x2{\color{blue}x^{2}} est 2x.{\color{blue}2x} .
  • La dérivée d'un nombre×x2{\color{blue}nombre\times x^{2}} est nombre×2x.{\color{blue}nombre\times2x} .
  • Soit f(x)=3x212x+1f\left(x\right)=3x^{2}-12x+1, il vient alors que :
    f(x)=3×2x12f'\left(x\right)=3\times2x-12
    Ainsi :
    f(x)=6x12f'\left(x\right)=6x-12
    Question 2

    Etudier le signe de f(x)f'\left(x\right) sur l'intervalle [0;3]\left[0;3\right] .

    Correction
  • Etude du signe de \red{\text{Etude du signe de }} f\red{f'}
  • 6x12=06x=12x=126x=26x-12=0\Leftrightarrow 6x=12\Leftrightarrow x=\frac{12}{6}\Leftrightarrow x=2
    Soit x6x12x\mapsto 6x-12 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=6>0a=6>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 6x126x-12 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=2x=2 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Le tableau de signe de ff' est alors donnée ci-dessous :
    Question 3

    Dresser alors le tableau de variation de la fonction ff sur l'intervalle [0;3]\left[0;3\right] .

    Correction
    • Si ff' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si ff' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    Avec :
  • f(0)=3×0212×0+1f\left(0\right)=3\times 0^{2}-12\times 0+1 d'où f(0)=1f\left(0\right)=1
  • f(2)=3×2212×2+1f\left(2\right)=3\times 2^{2}-12\times 2+1 d'où f(2)=11f\left(2\right)=-11
  • f(3)=3×3212×3+1f\left(3\right)=3\times 3^{2}-12\times 3+1 d'où f(3)=8f\left(3\right)=-8
  • Question 4

    La fonction ff admet t-elle des extrema ? Si oui, les préciser.

    Correction
      Soit ff une fonction dérivable sur un intervalle II et aa un réel de II .
    • Si ff' s'annule en changeant de signe en aa, alors ff admet un extremum local en aa .
    D'après le tableau ci-dessous :
  • ff' s'annule en changeant de signe en 22 donc ff admet un extremum local\text{\red{extremum local}}. Il s’agit, dans cette situation, d'un minimum
  • De plus :
  • Le maximum de ff sur [0;3]\left[0;3\right] est atteint en x=0x=0 et a pour valeur 11 .
  • Le minimum de ff sur [0;3]\left[0;3\right] est atteint en x=2x=2 et a pour valeur 11-11 .