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Cours sur les factorisations
Factorisation
Définition
Factoriser une somme, c’est écrire cette somme sous la forme d’un produit.
Méthodes
Recherche du facteur commun
Propriété
Pour factoriser une expression, il faut chercher le facteur commun dans chaque terme de l'expression.
Exemple 1 :
\pink{\text{Exemple 1 :}}
Exemple 1 :
Factoriser l’expression
A
=
4
x
−
4
y
−
4
z
A=4x-4y-4z
A
=
4
x
−
4
y
−
4
z
Le facteur commun ici est
4
{\color{blue}4}
4
.
A
=
4
×
x
−
4
×
y
−
4
×
z
A= {\color{blue}4}\times x-{\color{blue}4}\times y-{\color{blue}4}\times z
A
=
4
×
x
−
4
×
y
−
4
×
z
Ainsi :
A
=
4
(
x
−
y
−
z
)
A={\color{blue}4}\left(x-y-z\right)
A
=
4
(
x
−
y
−
z
)
Exemple 2 :
\pink{\text{Exemple 2 :}}
Exemple 2 :
Factoriser l’expression
B
(
x
)
=
5
x
2
−
4
x
B\left(x\right)=5x^{2}-4x
B
(
x
)
=
5
x
2
−
4
x
Le facteur commun ici est
x
{\color{blue}x}
x
.
B
(
x
)
=
5
×
x
×
x
−
4
×
x
B\left(x\right)=5\times {\color{blue}x}\times x-4\times {\color{blue}x}
B
(
x
)
=
5
×
x
×
x
−
4
×
x
Ainsi :
B
(
x
)
=
x
(
5
x
−
4
)
B\left(x\right)={\color{blue}x}\left(5x-4\right)
B
(
x
)
=
x
(
5
x
−
4
)
Exemple 3 :
\pink{\text{Exemple 3 :}}
Exemple 3 :
Factoriser l’expression
C
(
x
)
=
(
2
x
+
6
)
(
3
x
−
7
)
+
(
4
−
x
)
(
2
x
+
6
)
C\left(x\right)=\left(2x+6\right)\left(3x-7\right)+\left(4-x\right)\left(2x+6\right)
C
(
x
)
=
(
2
x
+
6
)
(
3
x
−
7
)
+
(
4
−
x
)
(
2
x
+
6
)
Le facteur commun ici est
2
x
+
6
{\color{blue}{2x+6}}
2
x
+
6
.
C
(
x
)
=
(
2
x
+
6
)
(
3
x
−
7
)
+
(
4
−
x
)
(
2
x
+
6
)
C\left(x\right)={\color{blue}{\left(2x+6\right)}}\left(3x-7\right)+\left(4-x\right){\color{blue}{\left(2x+6\right)}}
C
(
x
)
=
(
2
x
+
6
)
(
3
x
−
7
)
+
(
4
−
x
)
(
2
x
+
6
)
équivaut successivement à :
C
(
x
)
=
(
2
x
+
6
)
×
(
3
x
−
7
+
4
−
x
)
C\left(x\right)={\color{blue}{\left(2x+6\right)}}\times \left(3x-7+4-x\right)
C
(
x
)
=
(
2
x
+
6
)
×
(
3
x
−
7
+
4
−
x
)
Ainsi :
C
(
x
)
=
(
2
x
+
6
)
(
2
x
−
3
)
C\left(x\right)=\left(2x+6\right)\left(2x-3\right)
C
(
x
)
=
(
2
x
+
6
)
(
2
x
−
3
)
Factorisation avec les identités remarquables
Factoriser en utilisant l'identité remarquable
a
2
+
2
×
a
×
b
+
b
2
=
(
a
+
b
)
2
{\color{blue}a}^{2} +2\times{\color{blue}a}\times{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}=\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right)^{2}
a
2
+
2
×
a
×
b
+
b
2
=
(
a
+
b
)
2
Remarque :
Si l'expression n'admet pas de facteur commun, il faut penser à utiliser les identités remarquables.
Exemple :
\pink{\text{Exemple :}}
Exemple :
Factoriser l’expression
D
(
x
)
=
9
x
2
+
12
x
+
4
D\left(x\right)=9x^{2} +12x+4
D
(
x
)
=
9
x
2
+
12
x
+
4
D
(
x
)
=
9
x
2
+
12
x
+
4
D\left(x\right)=9x^{2} +12x+4
D
(
x
)
=
9
x
2
+
12
x
+
4
équivaut successivement à :
D
(
x
)
=
(
3
x
)
2
+
2
×
3
x
×
2
+
2
2
D\left(x\right)=\left({\color{blue}3x}\right)^{2} +2\times{\color{blue}3x}\times {\color{red}2}+{\color{red}2}^{2}
D
(
x
)
=
(
3
x
)
2
+
2
×
3
x
×
2
+
2
2
Ici nous avons
a
=
3
x
a={\color{blue}3x}
a
=
3
x
et
b
=
2
b={\color{red}2}
b
=
2
. Il vient alors que : Ainsi :
D
(
x
)
=
(
3
x
+
2
)
2
D\left(x\right)=\left({\color{blue}3x}+{\color{red}2}\right)^{2}
D
(
x
)
=
(
3
x
+
2
)
2
Factoriser en utilisant l'identité remarquable
a
2
−
2
×
a
×
b
+
b
2
=
(
a
−
b
)
2
{\color{blue}a}^{2} -2\times{\color{blue}a}\times{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}=\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)^{2}
a
2
−
2
×
a
×
b
+
b
2
=
(
a
−
b
)
2
Remarque :
Si l'expression n'admet pas de facteur commun, il faut penser à utiliser les identités remarquables.
Exemple :
\pink{\text{Exemple :}}
Exemple :
Factoriser l’expression
E
(
x
)
=
x
2
−
6
x
+
9
E\left(x\right)=x^{2} -6x+9
E
(
x
)
=
x
2
−
6
x
+
9
E
(
x
)
=
x
2
−
6
x
+
9
E\left(x\right)=x^{2} -6x+9
E
(
x
)
=
x
2
−
6
x
+
9
équivaut successivement à :
E
(
x
)
=
x
2
−
2
×
x
×
3
+
3
2
E\left(x\right)={\color{blue}x}^{2} -2\times{\color{blue}x}\times {\color{red}3}+{\color{red}3}^{2}
E
(
x
)
=
x
2
−
2
×
x
×
3
+
3
2
Ici nous avons
a
=
x
a={\color{blue}x}
a
=
x
et
b
=
3
b={\color{red}3}
b
=
3
. Il vient alors que :
E
(
x
)
=
(
x
−
3
)
2
E\left(x\right)=\left({\color{blue}x}-{\color{red}3}\right)^{2}
E
(
x
)
=
(
x
−
3
)
2
Factoriser en utilisant l'identité remarquable
a
2
−
b
2
=
(
a
−
b
)
(
a
+
b
)
{\color{blue}a}^{2} -{\color{red}b}^{2}=\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right)
a
2
−
b
2
=
(
a
−
b
)
(
a
+
b
)
Remarque :
Si l'expression n'admet pas de facteur commun, il faut penser à utiliser les identités remarquables.
Exemple :
\pink{\text{Exemple :}}
Exemple :
Factoriser l’expression
F
(
x
)
=
4
x
2
−
25
F\left(x\right)=4x^{2}-25
F
(
x
)
=
4
x
2
−
25
F
(
x
)
=
4
x
2
−
25
F\left(x\right)=4x^{2}-25
F
(
x
)
=
4
x
2
−
25
équivaut successivement à :
F
(
x
)
=
(
2
x
)
2
−
5
2
F\left(x\right)=\left({\color{blue}2x}\right)^{2} -{\color{red}5}^{2}
F
(
x
)
=
(
2
x
)
2
−
5
2
Ici nous avons
a
=
2
x
a={\color{blue}2x}
a
=
2
x
et
b
=
5
b={\color{red}5}
b
=
5
. Il vient alors que :
F
(
x
)
=
(
2
x
−
5
)
(
2
x
+
5
)
F\left(x\right)=\left({\color{blue}2x}-{\color{red}5}\right)\left({\color{blue}2x}+{\color{red}5}\right)
F
(
x
)
=
(
2
x
−
5
)
(
2
x
+
5
)