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Savoir résoudre les équations de la forme cos⁡(a)=cos⁡(b)\cos\left(a\right)=\cos \left(b\right) - Exercice 1

1 min
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Résoudre, dans R\mathbb{R}, les équations suivantes :
Question 1

cos⁡(x)=cos⁡(π2)\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2} \right)

Correction
cos⁡(a)=cos⁡(b)⇔{a=b+2kπoua=−b+2kπ\cos \left(a\right)=\cos \left(b\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {b+2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {a} & {=} & {-b+2k\pi } \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z}. Ce sont les solutions sur R\mathbb{R}.
cos⁡(x)=cos⁡(π2)⇔{x=π2+2kπoux=−π2+2kπ\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{2} +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{\pi }{2} +2k\pi } \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z}.
Ainsi :
S={−π2+2kπ;π2+2kπ}S=\left\{-\frac{\pi }{2} +2k\pi ;\frac{\pi }{2} +2k\pi \right\}
avec k∈Zk\in \mathbb{Z}.
Question 2

cos⁡(x)=cos⁡(π6)\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{6} \right)

Correction
cos⁡(a)=cos⁡(b)⇔{a=b+2kπoua=−b+2kπ\cos \left(a\right)=\cos \left(b\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {b+2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {a} & {=} & {-b+2k\pi } \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z}. Ce sont les solutions sur R\mathbb{R}.
cos⁡(x)=cos⁡(π6)⇔{x=π6+2kπoux=−π6+2kπ\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{6} +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{\pi }{6} +2k\pi } \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z}.
Ainsi :
S={−π6+2kπ;π6+2kπ}S=\left\{-\frac{\pi }{6} +2k\pi ;\frac{\pi }{6} +2k\pi \right\}
avec k∈Zk\in \mathbb{Z}.