Trigonométrie

Savoir résoudre les équations de la forme cos(a)=cos(b)\cos\left(a\right)=\cos \left(b\right) - Exercice 1

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Résoudre, dans R\mathbb{R}, les équations suivantes :
Question 1

cos(x)=cos(π2)\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2} \right)

Correction
cos(a)=cos(b){a=b+2kπoua=b+2kπ\cos \left(a\right)=\cos \left(b\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {b+2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {a} & {=} & {-b+2k\pi } \end{array}\right. avec kZk\in \mathbb{Z}. Ce sont les solutions sur R\mathbb{R}.
cos(x)=cos(π2){x=π2+2kπoux=π2+2kπ\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{2} +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{\pi }{2} +2k\pi } \end{array}\right. avec kZk\in \mathbb{Z}.
Ainsi :
S={π2+2kπ;π2+2kπ}S=\left\{-\frac{\pi }{2} +2k\pi ;\frac{\pi }{2} +2k\pi \right\}
avec kZk\in \mathbb{Z}.
Question 2

cos(x)=cos(π6)\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{6} \right)

Correction
cos(a)=cos(b){a=b+2kπoua=b+2kπ\cos \left(a\right)=\cos \left(b\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {b+2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {a} & {=} & {-b+2k\pi } \end{array}\right. avec kZk\in \mathbb{Z}. Ce sont les solutions sur R\mathbb{R}.
cos(x)=cos(π6){x=π6+2kπoux=π6+2kπ\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{6} +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{\pi }{6} +2k\pi } \end{array}\right. avec kZk\in \mathbb{Z}.
Ainsi :
S={π6+2kπ;π6+2kπ}S=\left\{-\frac{\pi }{6} +2k\pi ;\frac{\pi }{6} +2k\pi \right\}
avec kZk\in \mathbb{Z}.