Manipuler la formule cos⁡2(x)+sin⁡2(x)=1\cos ^{2} \left(x\right)+\sin ^{2} \left(x\right)=1 - Exercice 1

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Soit xx un réel de l'intervalle [π2;π]\left[\frac{\pi }{2} ;\pi \right] tel que sin⁡(x)=13\sin \left(x\right)=\frac{1}{3}
Question 1

Calculer cos⁡(x)\cos \left(x\right)

Correction
Pour tout réel xx, on a : cos⁡2(x)+sin⁡2(x)=1\cos ^{2} \left(x\right)+\sin ^{2} \left(x\right)=1

On sait que :
cos⁡2(x)+sin⁡2(x)=1\cos ^{2} \left(x\right)+\sin ^{2} \left(x\right)=1 équivaut successivement à :
cos⁡2(x)+(13)2=1\cos ^{2} \left(x\right)+\left(\frac{1}{3} \right)^{2} =1 car sin⁡(x)=13\sin \left(x\right)=\frac{1}{3}
cos⁡2(x)+19=1\cos ^{2} \left(x\right)+\frac{1}{9} =1
cos⁡2(x)=1−19\cos ^{2} \left(x\right)=1-\frac{1}{9}
cos⁡2(x)=99−19\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{9}{9} -\frac{1}{9}
cos⁡2(x)=89\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{8}{9}
Ainsi : cos⁡(x)=89\cos \left(x\right)=\sqrt{\frac{8}{9} } ou cos⁡(x)=−89\cos \left(x\right)=-\sqrt{\frac{8}{9} }
Or x∈[π2;π]x\in \left[\frac{\pi }{2} ;\pi \right]. Cela signifie que le cosinus doit être négatif.
On ne garde alors que cos⁡(x)=−89\cos \left(x\right)=-\sqrt{\frac{8}{9} } .
En effet, sur l'intervalle [π2;π]\left[\frac{\pi }{2} ;\pi \right] le cosinus est négatif.

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