Trigonométrie

Exercices types : 11ère partie - Exercice 2

15 min
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Question 1

Rappeler la valeur de sin⁡(π4)\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)

Correction
D'après le cours :
sin⁡(π4)=22\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\sqrt{2} }{2}
Question 2

Donner la mesure principale de α=63π4\alpha=\frac{63\pi }{4}.

Correction
On appelle mesure principale d'un angle orienté α\alpha la mesure appartenant à l'intervalle ]−π;π]\left]-\pi ;\pi \right]
« A la calculatrice, on tape 634=15,75\frac{63}{4}=15,75. On s'intéresse uniquement à la partie entière c'est à dire à la partie avant la virgule. Ici on a 1515. Comme 1515 est impair on rajoute 11 ce qui nous donne 1616. On va retrancher à α=63π4\alpha =\frac{63\pi }{4} la valeur 16π16\pi qui est bien un multiple de 2kπ2k\pi »
La partie en guillemet est une explication pour obtenir la mesure principale.
Vous ne devez pas l'écrire sur une copie.
Ce qui doit apparaître sur une copie est donnée ci-dessous.
Il vient alors :
α=63π4−16π\alpha =\frac{63\pi }{4} -16\pi
α=63π4−4×16π4\alpha =\frac{63\pi }{4} -\frac{4\times 16\pi }{4}
α=63π4−64π4\alpha =\frac{63\pi }{4} -\frac{64\pi }{4}
α=−π4.\alpha =-\frac{\pi }{4} .
Il en résulte que la mesure principale de l'angle orienté de mesure α=63π4\alpha =\frac{63\pi }{4} est α=−π4\alpha =-\frac{\pi }{4} .
Question 3

En déduire la valeur de sin⁡(−π4)\sin \left(-\frac{\pi }{4} \right); sin⁡(5π4)\sin \left(\frac{5\pi }{4} \right) et sin⁡(63π4)\sin \left(\frac{63\pi }{4} \right)

Correction
Soit xx un réel, on a :
  • sin⁡(−x)=−sin⁡(x)\sin \left(-x\right)=-\sin \left(x\right)
  • sin⁡(π+x)=−sin⁡(x)\sin \left(\pi+x \right)=-\sin \left(x \right)
    • Il vient alors que :\red{\text{Il vient alors que :}}
    sin⁡(−π4)=−sin⁡(π4)\sin \left(-\frac{\pi }{4} \right)=-\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)
    sin⁡(−π4)=−22\sin \left(-\frac{\pi }{4} \right)=-\frac{\sqrt{2} }{2}

    De plus :\red{\text{De plus :}}
    sin⁡(5π4)=sin⁡(π+π4)\sin \left(\frac{5\pi }{4} \right)=\sin \left(\pi+\frac{\pi }{4} \right)
    sin⁡(5π4)=−sin⁡(π4)\sin \left(\frac{5\pi }{4} \right)=-\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)
    Ainsi :
    sin⁡(5π4)=−22\sin \left(\frac{5\pi }{4} \right)=-\frac{\sqrt{2} }{2}

    Enfin :\red{\text{Enfin :}}
    sin⁡(63π4)=sin⁡(−π4)\sin \left(\frac{63\pi }{4} \right)=\sin \left(-\frac{\pi }{4} \right). Cela d'après la question 11.
    sin⁡(63π4)=−sin⁡(π4)\sin \left(\frac{63\pi }{4} \right)=-\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)
    sin⁡(63π4)=−22\sin \left(\frac{63\pi }{4} \right)=-\frac{\sqrt{2} }{2}