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Exercices types :
1
1
1
ère
partie - Exercice 1
15 min
30
Question 1
On donne
cos
(
7
π
8
)
=
−
2
+
2
2
\cos \left(\frac{7\pi }{8} \right)=-\sqrt{\frac{2+\sqrt{2} }{2} }
cos
(
8
7
π
)
=
−
2
2
+
2
et
sin
(
7
π
8
)
=
2
−
2
2
\sin \left(\frac{7\pi }{8} \right)=\sqrt{\frac{2-\sqrt{2} }{2} }
sin
(
8
7
π
)
=
2
2
−
2
Calculer :
a
.
\bf{a.}
a.
π
−
7
π
8
\pi -\frac{7\pi }{8}
π
−
8
7
π
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;
b
.
\bf{b.}
b.
π
+
7
π
8
\pi +\frac{7\pi }{8}
π
+
8
7
π
c
.
\bf{c.}
c.
π
2
−
7
π
8
\frac{\pi }{2} -\frac{7\pi }{8}
2
π
−
8
7
π
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;
d
.
\bf{d.}
d.
π
2
+
7
π
8
\frac{\pi }{2} +\frac{7\pi }{8}
2
π
+
8
7
π
Correction
a
.
\red{\bf{a.}}
a.
π
−
7
π
8
=
π
1
−
7
π
8
=
π
×
8
1
×
8
−
7
π
8
=
8
π
8
−
7
π
8
=
8
π
−
7
π
8
=
π
8
\pi -\frac{7\pi }{8} =\frac{\pi }{1} -\frac{7\pi }{8} =\frac{\pi \times 8}{1\times 8} -\frac{7\pi }{8} =\frac{8\pi }{8} -\frac{7\pi }{8} =\frac{8\pi -7\pi }{8} ={\color{blue}{\frac{\pi }{8}}}
π
−
8
7
π
=
1
π
−
8
7
π
=
1
×
8
π
×
8
−
8
7
π
=
8
8
π
−
8
7
π
=
8
8
π
−
7
π
=
8
π
b
.
\red{\bf{b.}}
b.
π
+
7
π
8
=
π
1
+
7
π
8
=
π
×
8
1
×
8
+
7
π
8
=
8
π
8
+
7
π
8
=
8
π
+
7
π
8
=
15
π
8
\pi +\frac{7\pi }{8} =\frac{\pi }{1} +\frac{7\pi }{8} =\frac{\pi \times 8}{1\times 8} +\frac{7\pi }{8} =\frac{8\pi }{8} +\frac{7\pi }{8} =\frac{8\pi +7\pi }{8} ={\color{blue}{\frac{15\pi }{8}}}
π
+
8
7
π
=
1
π
+
8
7
π
=
1
×
8
π
×
8
+
8
7
π
=
8
8
π
+
8
7
π
=
8
8
π
+
7
π
=
8
15
π
c
.
\red{\bf{c.}}
c.
π
2
−
7
π
8
=
π
×
4
2
×
4
−
7
π
8
=
4
π
8
−
7
π
8
=
4
π
−
7
π
8
=
−
3
π
8
\frac{\pi }{2} -\frac{7\pi }{8} =\frac{\pi \times 4}{2\times 4} -\frac{7\pi }{8} =\frac{4\pi }{8} -\frac{7\pi }{8} =\frac{4\pi -7\pi }{8} ={\color{blue}{-\frac{3\pi }{8}}}
2
π
−
8
7
π
=
2
×
4
π
×
4
−
8
7
π
=
8
4
π
−
8
7
π
=
8
4
π
−
7
π
=
−
8
3
π
d
.
\red{\bf{d.}}
d.
π
2
+
7
π
8
=
π
×
4
2
×
4
+
7
π
8
=
4
π
8
+
7
π
8
=
4
π
+
7
π
8
=
11
π
8
\frac{\pi }{2} +\frac{7\pi }{8} =\frac{\pi \times 4}{2\times 4} +\frac{7\pi }{8} =\frac{4\pi }{8} +\frac{7\pi }{8} =\frac{4\pi +7\pi }{8} ={\color{blue}{\frac{11\pi }{8}}}
2
π
+
8
7
π
=
2
×
4
π
×
4
+
8
7
π
=
8
4
π
+
8
7
π
=
8
4
π
+
7
π
=
8
11
π
Question 2
En déduire :
a
.
\bf{a.}
a.
cos
(
π
8
)
\cos \left(\frac{\pi }{8} \right)
cos
(
8
π
)
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;
b
.
\bf{b.}
b.
sin
(
15
π
8
)
\sin \left(\frac{15\pi }{8} \right)
sin
(
8
15
π
)
c
.
\bf{c.}
c.
sin
(
−
3
π
8
)
\sin \left(-\frac{3\pi }{8} \right)
sin
(
−
8
3
π
)
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;
d
.
\bf{d.}
d.
cos
(
11
π
8
)
\cos \left(\frac{11\pi }{8} \right)
cos
(
8
11
π
)
Correction
a
.
\red{\bf{a.}}
a.
cos
(
π
−
x
)
=
−
cos
(
x
)
\cos\left(\pi-{\color{red}{x}}\right)=-\cos\left({\color{red}{x}}\right)
cos
(
π
−
x
)
=
−
cos
(
x
)
Ainsi :
cos
(
π
8
)
=
cos
(
π
−
7
π
8
)
\cos \left(\frac{\pi }{8} \right)=\cos\left(\pi-{\color{red}{\frac{7\pi}{8}}}\right)
cos
(
8
π
)
=
cos
(
π
−
8
7
π
)
cos
(
π
8
)
=
−
cos
(
7
π
8
)
\cos \left(\frac{\pi }{8} \right)=-\cos\left({\color{red}{\frac{7\pi}{8}}}\right)
cos
(
8
π
)
=
−
cos
(
8
7
π
)
Finalement :
\purple{\text{Finalement :}}
Finalement :
cos
(
π
8
)
=
−
(
−
2
+
2
2
)
=
2
+
2
2
\cos \left(\frac{\pi }{8} \right)=-\left(-\sqrt{\frac{2+\sqrt{2} }{2} }\right)=\sqrt{\frac{2+\sqrt{2} }{2} }
cos
(
8
π
)
=
−
⎝
⎛
−
2
2
+
2
⎠
⎞
=
2
2
+
2
b
.
\red{\bf{b.}}
b.
sin
(
π
+
x
)
=
−
sin
(
x
)
\sin\left(\pi+{\color{red}{x}}\right)=-\sin\left({\color{red}{x}}\right)
sin
(
π
+
x
)
=
−
sin
(
x
)
Ainsi :
sin
(
15
π
8
)
=
sin
(
π
+
7
π
8
)
\sin\left(\frac{15\pi }{8}\right)=\sin\left(\pi+{\color{red}{\frac{7\pi}{8}}}\right)
sin
(
8
15
π
)
=
sin
(
π
+
8
7
π
)
sin
(
15
π
8
)
=
−
sin
(
7
π
8
)
\sin\left(\frac{15\pi }{8}\right)=-\sin\left({\color{red}{\frac{7\pi}{8}}}\right)
sin
(
8
15
π
)
=
−
sin
(
8
7
π
)
Finalement :
\purple{\text{Finalement :}}
Finalement :
sin
(
15
π
8
)
=
−
2
−
2
2
\sin\left(\frac{15\pi }{8}\right)=-\sqrt{\frac{2-\sqrt{2} }{2} }
sin
(
8
15
π
)
=
−
2
2
−
2
c
.
\red{\bf{c.}}
c.
sin
(
π
2
−
x
)
=
cos
(
x
)
\sin\left(\frac{\pi }{2} -{\color{red}{x}}\right)=\cos\left({\color{red}{x}}\right)
sin
(
2
π
−
x
)
=
cos
(
x
)
Ainsi :
sin
(
−
3
π
8
)
=
sin
(
π
2
−
7
π
8
)
\sin \left(-\frac{3\pi }{8} \right)=\sin\left(\frac{\pi }{2}-{\color{red}{\frac{7\pi}{8}}}\right)
sin
(
−
8
3
π
)
=
sin
(
2
π
−
8
7
π
)
sin
(
−
3
π
8
)
=
cos
(
7
π
8
)
\sin \left(-\frac{3\pi }{8} \right)=\cos\left({\color{red}{\frac{7\pi}{8}}}\right)
sin
(
−
8
3
π
)
=
cos
(
8
7
π
)
Finalement :
\purple{\text{Finalement :}}
Finalement :
sin
(
−
3
π
8
)
=
−
2
+
2
2
\sin \left(-\frac{3\pi }{8} \right)=-\sqrt{\frac{2+\sqrt{2} }{2} }
sin
(
−
8
3
π
)
=
−
2
2
+
2
d
.
\red{\bf{d.}}
d.
cos
(
π
2
+
x
)
=
−
sin
(
x
)
\cos\left(\frac{\pi }{2} +{\color{red}{x}}\right)=-\sin\left({\color{red}{x}}\right)
cos
(
2
π
+
x
)
=
−
sin
(
x
)
Ainsi :
cos
(
11
π
8
)
=
cos
(
π
2
+
7
π
8
)
\cos \left(\frac{11\pi }{8} \right)=\cos\left(\frac{\pi }{2}+{\color{red}{\frac{7\pi}{8}}}\right)
cos
(
8
11
π
)
=
cos
(
2
π
+
8
7
π
)
cos
(
11
π
8
)
=
−
sin
(
7
π
8
)
\cos \left(\frac{11\pi }{8} \right)=-\sin\left({\color{red}{\frac{7\pi}{8}}}\right)
cos
(
8
11
π
)
=
−
sin
(
8
7
π
)
Finalement :
\purple{\text{Finalement :}}
Finalement :
cos
(
11
π
8
)
=
−
2
−
2
2
\cos \left(\frac{11\pi }{8} \right)=-\sqrt{\frac{2-\sqrt{2} }{2} }
cos
(
8
11
π
)
=
−
2
2
−
2