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Calculer des sinus à l'aide des angles associées - Exercice 1

10 min
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Question 1
En s'aidant des valeurs remarquables ci-dessus :

Déterminer la valeur exacte de sin⁡(2π3)\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)

Correction
Nous savons que sin⁡(π3)=32\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}
On vérifie facilement que 2π3=π−π3\frac{2\pi}{3}=\pi-\frac{\pi}{3}
sin⁡(π−x)=sin⁡(x)\sin\left(\pi-{\color{red}{x}}\right)=\sin\left({\color{red}{x}}\right)
Ainsi :
sin⁡(2π3)=sin⁡(π−π3)\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\sin\left(\pi-{\color{red}{\frac{\pi}{3}}}\right)
sin⁡(2π3)=sin⁡(π3)\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\sin\left({\color{red}{\frac{\pi}{3}}}\right)
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
sin⁡(2π3)=32\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}

Question 2

Déterminer la valeur exacte de sin⁡(−π6)\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)

Correction
Nous savons que sin⁡(π6)=12\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}
sin⁡(−x)=−sin⁡(x)\sin\left(-{\color{red}{x}}\right)=-\sin\left({\color{red}{x}}\right)
Ainsi :
sin⁡(−π6)=−sin⁡(π6)\sin\left(-{\color{red}{\frac{\pi}{6}}}\right)=-\sin\left({\color{red}{\frac{\pi}{6}}}\right)
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
sin⁡(−π6)=−12\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}
Question 3

Déterminer la valeur exacte de sin⁡(5π4)\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)

Correction
Nous savons que sin⁡(π4)=22\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}
On vérifie facilement que 5π4=π+π4\frac{5\pi}{4}=\pi+\frac{\pi}{4}
sin⁡(π+x)=−sin⁡(x)\sin\left(\pi+{\color{red}{x}}\right)=-\sin\left({\color{red}{x}}\right)
Ainsi :
sin⁡(5π4)=sin⁡(π+π4)\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)=\sin\left(\pi+{\color{red}{\frac{\pi}{4}}}\right)
sin⁡(5π4)=−sin⁡(π4)\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\sin\left({\color{red}{\frac{\pi}{4}}}\right)
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
sin⁡(5π4)=−22\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}