Trigonométrie

Calculer des cosinus à l'aide des angles associées - Exercice 1

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Question 1
En s'aidant des valeurs remarquables ci-dessus :

Déterminer la valeur exacte de cos⁡(4π3)\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)

Correction
Nous savons que cos⁡(π3)=12\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}
On vérifie facilement que 4π3=π+π3\frac{4\pi}{3}=\pi+\frac{\pi}{3}
cos⁡(π+x)=−cos⁡(x)\cos\left(\pi+{\color{red}{x}}\right)=-\cos\left({\color{red}{x}}\right)
Ainsi :
cos⁡(4π3)=cos⁡(π+π3)\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)=\cos\left(\pi+{\color{red}{\frac{\pi}{3}}}\right)
cos⁡(4π3)=−cos⁡(π3)\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)=-\cos\left({\color{red}{\frac{\pi}{3}}}\right)
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
cos⁡(4π3)=−12\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}
Question 2

Déterminer la valeur exacte de cos⁡(−π4)\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)

Correction
Nous savons que cos⁡(π4)=22\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}
cos⁡(−x)=cos⁡(x)\cos\left(-{\color{red}{x}}\right)=\cos\left({\color{red}{x}}\right)
Ainsi :
cos⁡(−π4)=cos⁡(π4)\cos\left(-{\color{red}{\frac{\pi}{4}}}\right)=\cos\left({\color{red}{\frac{\pi}{4}}}\right)
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
cos⁡(−π4)=−22\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}