Les nombres complexes

Exercices types 1ère partie - Exercice 3

20 min
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On considère les nombres complexes z1z_{1} et z2z_{2} définis par z1=321+iz_{1}=\frac{3\sqrt{2} }{1+i} et z2=4i1+i3z_{2}=\frac{4i}{1+i\sqrt{3} }.
Question 1

Ecrire z1z_{1} et z2z_{2} sous forme algébrique.

Correction
Commençons par calculer la forme algébrique de z1z_{1}.
z1=321+iz_{1}=\frac{3\sqrt{2} }{1+i} équivaut successivement à :
z1=32×(1−i)(1+i)×(1−i)z_{1} =\frac{3\sqrt{2} \times \left(1-i\right)}{\left(1+i\right)\times \left(1-i\right)}
z1=32−32i12+12z_{1} =\frac{3\sqrt{2} -3\sqrt{2} i}{1^{2} +1^{2} }
z1=32−32i2z_{1} =\frac{3\sqrt{2} -3\sqrt{2} i}{2}
Ainsi :
z1=322−322iz_{1} =\frac{3\sqrt{2} }{2} -\frac{3\sqrt{2} }{2} i

Maintenant, calculons la forme algébrique de z2z_{2}.
z2=4i×(1−i3)(1+i3)×(1−i3)z_{2} =\frac{4i\times \left(1-i\sqrt{3} \right)}{\left(1+i\sqrt{3} \right)\times \left(1-i\sqrt{3} \right)}
z2=4i−4i2×312+(3)2z_{2} =\frac{4i-4i^{2} \times \sqrt{3} }{1^{2} +\left(\sqrt{3} \right)^{2} }
z2=4i+434z_{2} =\frac{4i+4\sqrt{3} }{4}
Ainsi :
z2=3+iz_{2} =\sqrt{3} +i

Question 2

Ecrire z1z_{1} sous forme trigonométrique.

Correction
Soit zz un nombre complexe dont le module est ∣z∣\left|z\right| et θ\theta un argument de zz.
  • L'écriture trigonométrique de zz est alors z=∣z∣(cos⁡(θ)+isin⁡(θ))z=\left|z\right|\left(\cos \left(\theta \right)+i\sin \left(\theta \right)\right)
Nous avons : z1=322−322iz_{1} =\frac{3\sqrt{2} }{2} -\frac{3\sqrt{2} }{2} i
  • Commençons, par le module de z1z_{1}.
    • ∣z1∣=(322)2+(−322)2=3\left|z_{1} \right|=\sqrt{\left(\frac{3\sqrt{2} }{2}\right)^{2} +\left(-\frac{3\sqrt{2} }{2}\right)^{2} }=3
  • Pour l'argument θ\theta on sait que :
    • {cos⁡(θ)=partie reelle de z1module de z1sin⁡(θ)=partie imaginaire de z1module de z1\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\text{partie reelle de } z_{1}}{\text{module de } z_{1}} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\text{partie imaginaire de } z_{1}}{\text{module de } z_{1} } } \end{array}\right.
    On a donc : {cos⁡(θ)=(322)3sin⁡(θ)=(−322)3\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\left(\frac{3\sqrt{2} }{2} \right)}{3} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\left(-\frac{3\sqrt{2} }{2} \right)}{3} } \end{array}\right.
    Ainsi : {cos⁡(θ)=22sin⁡(θ)=−22\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\sqrt{2} }{2} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{-\sqrt{2} }{2} } \end{array}\right.
    Avec le cercle trigonométrique on en déduit que θ=−π4[2π]\theta =-\frac{\pi }{4} \left[2\pi \right]

    Il en résulte donc que :
  • Une forme trigonométrique de z1z_{1} est alors :
    z1=3(cos⁡(−π4)+isin⁡(−π4))z_{1}=3\left(\cos \left(-\frac{\pi }{4} \right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)\right)
    • Question 3

    Ecrire z2z_{2} sous forme trigonométrique et également sous forme exponentielle.

    Correction
    Soit zz un nombre complexe dont le module est ∣z∣\left|z\right| et θ\theta un argument de zz.
    • L'écriture trigonométrique de zz est alors z=∣z∣(cos⁡(θ)+isin⁡(θ))z=\left|z\right|\left(\cos \left(\theta \right)+i\sin \left(\theta \right)\right)
    Nous avons : z2=3+iz_{2} =\sqrt{3} +i
  • Commençons, par le module de z2z_{2}.
    • ∣z2∣=(3)2+12=2\left|z_{2} \right|=\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^{2} +1^{2} }=2
  • Pour l'argument θ\theta on sait que :
    • {cos⁡(θ)=partie reˊelle de z2module de z2sin⁡(θ)=partie imaginaire de z2module de z2\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\text{partie réelle de } z_{2}}{\text{module de } z_{2}} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\text{partie imaginaire de } z_{2}}{\text{module de } z_{2} } } \end{array}\right.
    Ainsi : {cos⁡(θ)=32sin⁡(θ)=12\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\sqrt{3} }{2} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{1 }{2} } \end{array}\right.
    Avec le cercle trigonométrique on en déduit que θ=π6[2π]\theta =\frac{\pi }{6} \left[2\pi \right]

    Il en résulte donc que :
  • Une forme trigonométrique de z2z_{2} est alors :
    z2=2(cos⁡(π6)+isin⁡(π6))z_{2}=2\left(\cos \left(\frac{\pi }{6} \right)+i\sin \left(\frac{\pi }{6}\right)\right)
    • Question 4
    Soit Z=z1×z2Z=z_{1}\times z_{2}

    Déterminer la forme algébrique de ZZ.

    Correction
    Z=z1×z2Z=z_{1}\times z_{2} équivaut successivement à :
    Z=(322−322i)×(3+i)Z=\left(\frac{3\sqrt{2} }{2} -\frac{3\sqrt{2} }{2} i\right)\times \left(\sqrt{3} +i\right)
    Z=322×3+322i−322i×3−322i2Z=\frac{3\sqrt{2} }{2} \times \sqrt{3} +\frac{3\sqrt{2} }{2} i-\frac{3\sqrt{2} }{2} i\times \sqrt{3} -\frac{3\sqrt{2} }{2} i^{2}
    Z=362+322i−362i+322Z=\frac{3\sqrt{6} }{2} +\frac{3\sqrt{2} }{2} i-\frac{3\sqrt{6} }{2} i+\frac{3\sqrt{2} }{2}
    Z=362+322+322i−362iZ=\frac{3\sqrt{6} }{2} +\frac{3\sqrt{2} }{2} +\frac{3\sqrt{2} }{2} i-\frac{3\sqrt{6} }{2} i
    Z=362+322+i(322−362)Z=\frac{3\sqrt{6} }{2} +\frac{3\sqrt{2} }{2} +i\left(\frac{3\sqrt{2} }{2} -\frac{3\sqrt{6} }{2} \right)
    Z=36+322+i(32−362)Z=\frac{3\sqrt{6}+3\sqrt{2} }{2} +i\left(\frac{3\sqrt{2}-3\sqrt{6} }{2}\right)
    Finalement :
    Z=3(6+2)2+i3(2−6)2Z=\frac{3\left(\sqrt{6} +\sqrt{2} \right)}{2} +i\frac{3\left(\sqrt{2} -\sqrt{6} \right)}{2}