Les nombres complexes

Déterminer la forme trigonométrique d'un nombre complexe - Exercice 2

5 min
10
COMPETENCES  :  Calculer{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;Calculer}
Question 1

On donne une forme trigonométrique du nombre complexe z1z_{1} telle que : z1=2(cos(π4)+isin(π4))z_{1} =2\left(\cos \left(\frac{\pi }{4} \right)+i\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)\right) .
Déterminer la forme algébrique de z1z_{1}.

Correction
z1=2(cos(π4)+isin(π4))z_{1} =2\left(\cos \left(\frac{\pi }{4} \right)+i\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)\right) équivaut successivement à :
z1=2(22+i22)z_{1} =2\left(\frac{\sqrt{2} }{2} +i\frac{\sqrt{2} }{2} \right)
z1=2×22+2×i22z_{1} =2\times \frac{\sqrt{2} }{2} +2\times i\frac{\sqrt{2} }{2}
Ainsi :
z1=2+i2z_{1} =\sqrt{2} +i\sqrt{2}

Question 2

On donne une forme trigonométrique du nombre complexe z2z_{2} telle que : z2=4(cos(π6)+isin(π6))z_{2} =4\left(\cos \left(-\frac{\pi }{6} \right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{6} \right)\right) .
Déterminer la forme algébrique de z2z_{2}.

Correction
z2=4(cos(π6)+isin(π6))z_{2} =4\left(\cos \left(-\frac{\pi }{6} \right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{6} \right)\right) équivaut successivement à :
z2=4(3212i)z_{2} =4\left(\frac{\sqrt{3} }{2} -\frac{1}{2} i\right)
z2=4×32+4×(12i)z_{2} =4\times \frac{\sqrt{3} }{2} +4\times \left(-\frac{1}{2} i\right)
Ainsi :
z2=232iz_{2} =2\sqrt{3} -2i

Question 3

On donne une forme trigonométrique du nombre complexe z3z_{3} telle que : z3=2(cos(3π4)+isin(3π4))z_{3} =\sqrt{2} \left(\cos \left(-\frac{3\pi }{4} \right)+i\sin \left(-\frac{3\pi }{4} \right)\right) .
Déterminer la forme algébrique de z3z_{3}.

Correction
z3=2(2222i)z_{3} =\sqrt{2} \left(-\frac{\sqrt{2} }{2} -\frac{\sqrt{2} }{2} i\right)
z3=2×(22)+2×(22i)z_{3} =\sqrt{2} \times \left(-\frac{\sqrt{2} }{2} \right)+\sqrt{2} \times \left(-\frac{\sqrt{2} }{2} i\right)
Ainsi :
z3=1iz_{3} =-1-i