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Calculs algébriques : l'inverse et le quotient de deux nombres complexes - Exercice 1

20 min
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Donnez la forme algébrique des nombres complexes suivants :
Question 1

z1=32+2iz_{1} =\frac{3}{2+2i}

Correction
  • Lorsque vous avez un quotient dont le dénominateur est sous forme algébrique, il faut multiplier\red{\text{multiplier}} le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
  • Soit z=x+iyz=x+iy et z‾=x−iy\overline{z}=x-iy son conjugué, alors z×z‾=x2+y2z\times \overline{z}=x^{2} +y^{2}
    • z1=32+2iz_{1} =\frac{3}{2+2i} on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur c'est-à-dire par 2−2i2-2i
    z1=3(2−2i)(2+2i)(2−2i)z_{1} =\frac{3\left(2-2i\right)}{\left(2+2i\right)\left(2-2i\right)} équivaut successivement à
    z1=6−6i22+22z_{1} =\frac{6-6i}{2^{2} +2^{2} }
    z1=6−6i8z_{1} =\frac{6-6i}{8}
    Ainsi :
    z1=34−34iz_{1} =\frac{3}{4} -\frac{3}{4} i
    Question 2

    z2=i−1−iz_{2} =\frac{i}{-1-i}

    Correction
  • Lorsque vous avez un quotient dont le dénominateur est sous forme algébrique, il faut multiplier\red{\text{multiplier}} le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
  • Soit z=x+iyz=x+iy et z‾=x−iy\overline{z}=x-iy son conjugué, alors z×z‾=x2+y2z\times \overline{z}=x^{2} +y^{2}
    • z2=i−1−iz_{2} =\frac{i}{-1-i} on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur c'est-à-dire par −1+i-1+i
    z2=i(−1+i)(−1−i)(−1+i)z_{2} =\frac{i\left(-1+i\right)}{\left(-1-i\right)\left(-1+i\right)} équivaut successivement à
    z2=−i−1(−1)2+12z_{2} =\frac{-i-1}{\left(-1\right)^{2} +1^{2} }
    z2=−i−12z_{2} =\frac{-i-1}{2 }
    Ainsi :
    z2=−12−12iz_{2} =-\frac{1}{2} -\frac{1}{2} i
    Question 3

    z3=1+2i−1+iz_{3} =\frac{1+2i}{-1+i}

    Correction
  • Lorsque vous avez un quotient dont le dénominateur est sous forme algébrique, il faut multiplier\red{\text{multiplier}} le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
  • Soit z=x+iyz=x+iy et z‾=x−iy\overline{z}=x-iy son conjugué, alors z×z‾=x2+y2z\times \overline{z}=x^{2} +y^{2}
    • z3=1+2i−1+iz_{3} =\frac{1+2i}{-1+i} on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur c'est-à-dire par −1−i-1-i
    z3=(1+2i)×(−1−i)(−1+i)×(−1−i)z_{3} =\frac{\left(1+2i\right)\times \left(-1-i\right)}{\left(-1+i\right)\times \left(-1-i\right)} équivaut successivement à :
    z3=−1−i−2i−2i2(−1)2+12z_{3} =\frac{-1-i-2i-2i^{2} }{\left(-1\right)^{2} +1^{2} }
    z3=−1−i−2i+22z_{3} =\frac{-1-i-2i+2}{2}
    z3=1−3i2z_{3} =\frac{1-3i}{2}
    Ainsi :
    z3=12−32iz_{3} =\frac{1}{2} -\frac{3}{2} i
    Question 4

    z4=3−i−3+2iz_{4} =\frac{3-i}{-3+2i}

    Correction
  • Lorsque vous avez un quotient dont le dénominateur est sous forme algébrique, il faut multiplier\red{\text{multiplier}} le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
  • Soit z=x+iyz=x+iy et z‾=x−iy\overline{z}=x-iy son conjugué, alors z×z‾=x2+y2z\times \overline{z}=x^{2} +y^{2}
    • z4=3−i−3+2iz_{4} =\frac{3-i}{-3+2i} on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur c'est-à-dire par −3−2i-3-2i
    z4=(3−i)(−3−2i)(−3+2i)(−3−2i)z_{4} =\frac{\left(3-i\right)\left(-3-2i\right)}{\left(-3+2i\right)\left(-3-2i\right)} équivaut successivement :
    z4=−9−6i+3i+2i2(−3)2+22z_{4} =\frac{-9-6i+3i+2i^{2} }{\left(-3\right)^{2} +2^{2} }
    z4=−9−6i+3i−213z_{4} =\frac{-9-6i+3i-2}{13}
    z4=−11−3i13z_{4} =\frac{-11-3i}{13}
    Ainsi :
    z4=−1113−313iz_{4} =-\frac{11}{13} -\frac{3}{13} i
    Question 5

    z5=2−5i−4−3iz_{5} =\frac{2-5i}{-4-3i}

    Correction
  • Lorsque vous avez un quotient dont le dénominateur est sous forme algébrique, il faut multiplier\red{\text{multiplier}} le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
  • Soit z=x+iyz=x+iy et z‾=x−iy\overline{z}=x-iy son conjugué, alors z×z‾=x2+y2z\times \overline{z}=x^{2} +y^{2}
    • z5=2−5i−4−3iz_{5} =\frac{2-5i}{-4-3i} on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur c'est-à-dire par −4+3i-4+3i
    z5=(2−5i)(−4+3i)(−4−3i)(−4+3i)z_{5} =\frac{\left(2-5i\right)\left(-4+3i\right)}{\left(-4-3i\right)\left(-4+3i\right)} équivaut successivement à :
    z5=−8+6i+20i−15i2(−4)2+32z_{5} =\frac{-8+6i+20i-15i^{2} }{\left(-4\right)^{2} +3^{2} }
    z5=−8+6i+20i+1525z_{5} =\frac{-8+6i+20i+15}{25}
    z5=7+26i25z_{5} =\frac{7+26i}{25}
    Ainsi :
    z5=725+2625iz_{5} =\frac{7}{25} +\frac{26}{25} i
    Question 6

    z7=23iz_{7} =\frac{2}{3i}

    Correction
  • Lorsque vous avez un quotient dont le dénominateur est sous forme algébrique, il faut multiplier\red{\text{multiplier}} le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
  • Soit z=x+iyz=x+iy et z‾=x−iy\overline{z}=x-iy son conjugué, alors z×z‾=x2+y2z\times \overline{z}=x^{2} +y^{2}
    • z7=23iz_{7} =\frac{2}{3i} équivaut successivement à :
    z7=2×(−3i)3i×(−3i)z_{7} =\frac{2\times \left(-3i\right)}{3i\times \left(-3i\right)}
    z7=−6i−9i2z_{7} =\frac{-6i}{-9i^{2} }
    z7=6i9i2z_{7} =\frac{6i}{9i^{2} }
    z7=6i9×(−1)z_{7} =\frac{6i}{9\times \left(-1\right)}
    z7=−6i9z_{7} =-\frac{6i}{9}
    Finalement :
    z7=−2i3z_{7} =-\frac{2i}{3}

    Question 7

    z6=3+i3−3iz_{6} =\frac{\sqrt{3} +i}{3-3i}

    Correction
  • Lorsque vous avez un quotient dont le dénominateur est sous forme algébrique, il faut multiplier\red{\text{multiplier}} le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
  • Soit z=x+iyz=x+iy et z‾=x−iy\overline{z}=x-iy son conjugué, alors z×z‾=x2+y2z\times \overline{z}=x^{2} +y^{2}
    • z6=3+i3−3iz_{6} =\frac{\sqrt{3} +i}{3-3i} équivaut successivement à :
    z6=(3+i)(3+3i)(3−3i)(3+3i)z_{6} =\frac{\left(\sqrt{3} +i\right)\left(3+3i\right)}{\left(3-3i\right)\left(3+3i\right)}
    z6=33+33i+3i+3i232+32z_{6} =\frac{3\sqrt{3} +3\sqrt{3} i+3i+3i^{2} }{3^{2} +3^{2} }
    z6=33+33i+3i−318z_{6} =\frac{3\sqrt{3} +3\sqrt{3} i+3i-3}{18}
    Ainsi :
    z6=33−3+i(33+3)18z_{6} =\frac{3\sqrt{3} -3+i\left(3\sqrt{3} +3\right)}{18}

    z6=33−318+i(33+3)18z_{6} =\frac{3\sqrt{3} -3}{18} +i\frac{\left(3\sqrt{3} +3\right)}{18}
    z6=3(3−1)18+i3(3+1)18z_{6} =\frac{3\left(\sqrt{3} -1\right)}{18} +i\frac{3\left(\sqrt{3} +1\right)}{18}
    z6=3(3−1)3×6+i3(3+1)3×6z_{6} =\frac{3\left(\sqrt{3} -1\right)}{3\times 6} +i\frac{3\left(\sqrt{3} +1\right)}{3\times 6}
    Ainsi :
    z6=3−16+i3+16z_{6} =\frac{\sqrt{3} -1}{6} +i\frac{\sqrt{3} +1}{6}

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