Calculs algébriques : l'inverse et le quotient de deux nombres complexes - Exercice 1

$$z_{1} =\frac{3}{2+2i}$$ on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur c'est-à-dire par $$2-2i$$
$$z_{1} =\frac{3\left(2-2i\right)}{\left(2+2i\right)\left(2-2i\right)}$$ équivaut successivement à
$$z_{1} =\frac{6-6i}{2^{2} +2^{2} }$$
$$z_{1} =\frac{6-6i}{8}$$
Ainsi :

$$z_{2} =\frac{i}{-1-i}$$ on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur c'est-à-dire par $$-1+i$$
$$z_{2} =\frac{i\left(-1+i\right)}{\left(-1-i\right)\left(-1+i\right)}$$ équivaut successivement à
$$z_{2} =\frac{-i-1}{\left(-1\right)^{2} +1^{2} }$$
$$z_{2} =\frac{-i-1}{2 }$$
Ainsi :

$$z_{3} =\frac{1+2i}{-1+i}$$ on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur c'est-à-dire par $$-1-i$$
$$z_{3} =\frac{\left(1+2i\right)\times \left(-1-i\right)}{\left(-1+i\right)\times \left(-1-i\right)}$$ équivaut successivement à :
$$z_{3} =\frac{-1-i-2i-2i^{2} }{\left(-1\right)^{2} +1^{2} }$$
$$z_{3} =\frac{-1-i-2i+2}{2}$$
$$z_{3} =\frac{1-3i}{2}$$
Ainsi :

$$z_{4} =\frac{3-i}{-3+2i}$$ on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur c'est-à-dire par $$-3-2i$$
$$z_{4} =\frac{\left(3-i\right)\left(-3-2i\right)}{\left(-3+2i\right)\left(-3-2i\right)}$$ équivaut successivement :
$$z_{4} =\frac{-9-6i+3i+2i^{2} }{\left(-3\right)^{2} +2^{2} }$$
$$z_{4} =\frac{-9-6i+3i-2}{13}$$
$$z_{4} =\frac{-11-3i}{13}$$
Ainsi :

$$z_{5} =\frac{2-5i}{-4-3i}$$ on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur c'est-à-dire par $$-4+3i$$
$$z_{5} =\frac{\left(2-5i\right)\left(-4+3i\right)}{\left(-4-3i\right)\left(-4+3i\right)}$$ équivaut successivement à :
$$z_{5} =\frac{-8+6i+20i-15i^{2} }{\left(-4\right)^{2} +3^{2} }$$
$$z_{5} =\frac{-8+6i+20i+15}{25}$$
$$z_{5} =\frac{7+26i}{25}$$
Ainsi :

$$z_{7} =\frac{2}{3i}$$ équivaut successivement à :
$$z_{7} =\frac{2\times \left(-3i\right)}{3i\times \left(-3i\right)}$$
$$z_{7} =\frac{-6i}{-9i^{2} }$$
$$z_{7} =\frac{6i}{9i^{2} }$$
$$z_{7} =\frac{6i}{9\times \left(-1\right)}$$
$$z_{7} =-\frac{6i}{9}$$
Finalement :

$$z_{6} =\frac{\sqrt{3} +i}{3-3i}$$ équivaut successivement à :
$$z_{6} =\frac{\left(\sqrt{3} +i\right)\left(3+3i\right)}{\left(3-3i\right)\left(3+3i\right)}$$
$$z_{6} =\frac{3\sqrt{3} +3\sqrt{3} i+3i+3i^{2} }{3^{2} +3^{2} }$$
$$z_{6} =\frac{3\sqrt{3} +3\sqrt{3} i+3i-3}{18}$$
Ainsi :
$$z_{6} =\frac{3\sqrt{3} -3}{18} +i\frac{\left(3\sqrt{3} +3\right)}{18}$$
$$z_{6} =\frac{3\left(\sqrt{3} -1\right)}{18} +i\frac{3\left(\sqrt{3} +1\right)}{18}$$
$$z_{6} =\frac{3\left(\sqrt{3} -1\right)}{3\times 6} +i\frac{3\left(\sqrt{3} +1\right)}{3\times 6}$$
Ainsi :