Calculs algébriques : l'inverse et le quotient de deux nombres complexes - Exercice 1
20 min
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Donnez la forme algébrique des nombres complexes suivants :
Question 1
z1=2+2i3
Correction
Lorsque vous avez un quotient dont le dénominateur est sous forme algébrique, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Soit z=x+iy et z=x−iy son conjugué, alors z×z=x2+y2
z1=2+2i3 on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur c'est-à-dire par 2−2i z1=(2+2i)(2−2i)3(2−2i) équivaut successivement à z1=22+226−6i z1=86−6i Ainsi :
z1=43−43i
Question 2
z2=−1−ii
Correction
Lorsque vous avez un quotient dont le dénominateur est sous forme algébrique, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Soit z=x+iy et z=x−iy son conjugué, alors z×z=x2+y2
z2=−1−ii on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur c'est-à-dire par −1+i z2=(−1−i)(−1+i)i(−1+i) équivaut successivement à z2=(−1)2+12−i−1 z2=2−i−1 Ainsi :
z2=−21−21i
Question 3
z3=−1+i1+2i
Correction
Lorsque vous avez un quotient dont le dénominateur est sous forme algébrique, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Soit z=x+iy et z=x−iy son conjugué, alors z×z=x2+y2
z3=−1+i1+2i on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur c'est-à-dire par −1−i z3=(−1+i)×(−1−i)(1+2i)×(−1−i) équivaut successivement à : z3=(−1)2+12−1−i−2i−2i2 z3=2−1−i−2i+2 z3=21−3i Ainsi :
z3=21−23i
Question 4
z4=−3+2i3−i
Correction
Lorsque vous avez un quotient dont le dénominateur est sous forme algébrique, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Soit z=x+iy et z=x−iy son conjugué, alors z×z=x2+y2
z4=−3+2i3−i on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur c'est-à-dire par −3−2i z4=(−3+2i)(−3−2i)(3−i)(−3−2i) équivaut successivement : z4=(−3)2+22−9−6i+3i+2i2 z4=13−9−6i+3i−2 z4=13−11−3i Ainsi :
z4=−1311−133i
Question 5
z5=−4−3i2−5i
Correction
Lorsque vous avez un quotient dont le dénominateur est sous forme algébrique, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Soit z=x+iy et z=x−iy son conjugué, alors z×z=x2+y2
z5=−4−3i2−5i on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur c'est-à-dire par −4+3i z5=(−4−3i)(−4+3i)(2−5i)(−4+3i) équivaut successivement à : z5=(−4)2+32−8+6i+20i−15i2 z5=25−8+6i+20i+15 z5=257+26i Ainsi :
z5=257+2526i
Question 6
z7=3i2
Correction
Lorsque vous avez un quotient dont le dénominateur est sous forme algébrique, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Soit z=x+iy et z=x−iy son conjugué, alors z×z=x2+y2
Lorsque vous avez un quotient dont le dénominateur est sous forme algébrique, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Soit z=x+iy et z=x−iy son conjugué, alors z×z=x2+y2
z6=3−3i3+i équivaut successivement à : z6=(3−3i)(3+3i)(3+i)(3+3i) z6=32+3233+33i+3i+3i2 z6=1833+33i+3i−3 Ainsi :
z6=1833−3+i(33+3)
z6=1833−3+i18(33+3) z6=183(3−1)+i183(3+1) z6=3×63(3−1)+i3×63(3+1) Ainsi :
z6=63−1+i63+1
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