Etudier une fonction de la forme t↦Acos⁡(ωt)t\mapsto A\cos \left(\omega t \right) - Exercice 2

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On a représenté ci-dessus la courbe d’une fonction sinusoïdale ff définie sur R\mathbb{R} par f(t)=Acos⁡(ωt)f\left(t\right)=A\cos \left(\omega t \right)
Question 1

Déterminer à l'aide du graphique les valeurs de AA et de ω\omega .

Correction
L’amplitude d’une fonction sinusoïdale est sa valeur maximale .
Pour les fonctions de la forme f(t)=Acos⁡(ωt)f\left(t\right)=A\cos \left(\omega t\right), on note AA l'amplitude qui correspond à la distance entre l'axe des abscisses et une crête.
Lorsque que la représentation graphique d'une fonction t↦Acos⁡(ωt)t\mapsto A\cos \left(\omega t\right) est donnée, il nous suffit de lire l'image de 00 pour obtenir AA.
D'après le graphique ci-dessous, on lit facilement que f(0)=2f\left(0\right)=2
Il en résulte donc que
A=2A=2
La période d'une fonction est la plus petite distance TT telle que la fonction se répète.
Pour les fonctions de la forme f(t)=Acos⁡(ωt+φ)f\left(t\right)=A\cos \left(\omega t+\varphi \right) ou f(t)=Acos⁡(ωt+φ)f\left(t\right)=A\cos \left(\omega t+\varphi \right) , on note TT la période qui s'exprime algébriquement par la relation T=2πωT=\frac{2\pi}{\omega }
On utilise le quadrillage, on peut alors lire que :
T=π2T=\frac{\pi}{2}
La pulsation ω\omega est obtenue à l'aide de la relation ω=2πT\omega=\frac{2\pi}{T }
Il en résulte donc que :
ω=2πT\omega=\frac{2\pi}{T }
ω=2ππ2\omega=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{2} }
ω=2π×2π\omega =2\pi \times \frac{2}{\pi }
ω=4ππ\omega =\frac{4\pi }{\pi }
Ainsi :
ω=4\omega =4

Question 2

En déduire l'expression de f(t)=Acos⁡(ωt)f\left(t\right)=A\cos \left(\omega t \right)

Correction
D'après la question précédente, nous avons montré que A=2A=2 et ω=4\omega=4 .
Il en résulte donc que :
f(t)=2cos⁡(4t)f\left(t\right)=2\cos \left(4t \right)

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