Les fonctions circulaires ou les fonctions trigonométriques

Comment déterminer si une fonction est paire ou impaire ou ni paire ni impaire - Exercice 3

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Question 1

Soit la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=−2cos⁡(4x)−5sin⁡(x2)f\left(x\right)=-2\cos \left(4x\right)-5\sin \left(x^{2} \right) . Déterminer si la fonction ff est paire, impaire ou ni paire ni impaire.

Correction
  • ff est une fonction paire si pour tout réel xx, on a f(−x)=f(x)f\left(-x\right)=f\left(x\right).
    La fonction cosinus est paire, c'est à dire, que pour tout réel xx, on a : cos⁡(−x)=cos⁡(x)\cos \left(-x\right)=\cos \left(x\right)

  • ff est une fonction impaire si pour tout réel xx, on a f(−x)=−f(x)f\left(-x\right)=-f\left(x\right).
    La fonction sinus est impaire, c'est à dire, que pour tout réel xx, on a : sin⁡(−x)=−sin⁡(x)\sin \left(-x\right)=-\sin \left(x\right)
    • Calculons f(−x)f\left(-x\right) . Ainsi :
    f(−x)=−2cos⁡(4×(−x))−5sin⁡((−x)2)f\left(-x\right)=-2\cos \left(4\times \left(-x\right)\right)-5\sin \left(\left(-x\right)^{2} \right)
    f(−x)=−2cos⁡(−4x)−5sin⁡(x2)f\left(-x\right)=-2\cos \left(-4x\right)-5\sin \left(x^{2} \right)
    f(−x)=−2cos⁡(4x)−5sin⁡(x2)f\left(-x\right)=-2\cos \left(4x\right)-5\sin \left(x^{2} \right)
    Ainsi :
    f(−x)=f(x)f\left(-x\right)=f\left(x\right)
    La fonction ff est une fonction paire.
  • La courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.