Les fonctions circulaires ou les fonctions trigonométriques
Comment déterminer si une fonction est paire ou impaire ou ni paire ni impaire
Exercice 1
1
Soit la fonction
f définie sur
R par :
f(x)=cos(x)−3x2 . Déterminer si la fonction
f est paire, impaire ou ni paire ni impaire.
f est une fonction paire si pour tout réel x, on a f(−x)=f(x).
La fonction cosinus est paire, c'est à dire, que pour tout réel x, on a : cos(−x)=cos(x)f est une fonction impaire si pour tout réel x, on a f(−x)=−f(x).
La fonction sinus est impaire, c'est à dire, que pour tout réel x, on a : sin(−x)=−sin(x) Calculons
f(−x) . Ainsi :
f(−x)=cos(−x)−3(−x)2f(−x)=cos(x)−3x2Ainsi :
f(−x)=f(x) La fonction
f est une fonction paire.
La courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.Exercice 2
1
Soit la fonction
f définie sur
R par :
f(x)=2sin(x)−4x . Déterminer si la fonction
f est paire, impaire ou ni paire ni impaire.
f est une fonction paire si pour tout réel x, on a f(−x)=f(x).
La fonction cosinus est paire, c'est à dire, que pour tout réel x, on a : cos(−x)=cos(x)f est une fonction impaire si pour tout réel x, on a f(−x)=−f(x).
La fonction sinus est impaire, c'est à dire, que pour tout réel x, on a : sin(−x)=−sin(x) Calculons
f(−x) . Ainsi :
f(x)=2sin(x)−4x f(−x)=2sin(−x)−4(−x) f(−x)=−2sin(x)+4x f(−x)=−(2sin(x)−4x) Ainsi :
f(−x)=−f(x) La fonction
f est une fonction impaire.
La courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère.Exercice 3
1
Soit la fonction
f définie sur
R par :
f(x)=−2cos(4x)−5sin(x2) . Déterminer si la fonction
f est paire, impaire ou ni paire ni impaire.
f est une fonction paire si pour tout réel x, on a f(−x)=f(x).
La fonction cosinus est paire, c'est à dire, que pour tout réel x, on a : cos(−x)=cos(x)f est une fonction impaire si pour tout réel x, on a f(−x)=−f(x).
La fonction sinus est impaire, c'est à dire, que pour tout réel x, on a : sin(−x)=−sin(x) Calculons
f(−x) . Ainsi :
f(−x)=−2cos(4×(−x))−5sin((−x)2) f(−x)=−2cos(−4x)−5sin(x2)f(−x)=−2cos(4x)−5sin(x2) Ainsi :
f(−x)=f(x) La fonction
f est une fonction paire.
La courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.Exercice 4
1
Soit la fonction
f définie sur
R par :
f(x)=−2cos(4x)−5sin(x2) . Déterminer si la fonction
f est paire, impaire ou ni paire ni impaire.
f est une fonction paire si pour tout réel x, on a f(−x)=f(x).
La fonction cosinus est paire, c'est à dire, que pour tout réel x, on a : cos(−x)=cos(x)f est une fonction impaire si pour tout réel x, on a f(−x)=−f(x).
La fonction sinus est impaire, c'est à dire, que pour tout réel x, on a : sin(−x)=−sin(x) Calculons
f(−x) . Ainsi :
f(x)=4cos(6x−8) f(−x)=4cos(6×(−x)−8)f(−x)=4cos(−6x−8) On remarque facilement que
f(−x)=f(x) . Donc
f n'est pas paire.
De plus :
−f(x)=−4cos(6x−8) On vérifie donc que
f(−x)=−f(x)Il en résulte donc que la fonction
f est ni paire ni impaire.