Les fonctions circulaires ou les fonctions trigonométriques

Calculs de dérivées : (sin⁡(ax+b))′=a(cos⁡(ax+b))\left(\sin \left(ax+b\right)\right)^{'} =a\left(\cos \left(ax+b\right)\right) - Exercice 1

10 min
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Question 1

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=sin⁡(3x+4)f\left(x\right)=\sin \left(3x+4 \right) . Calculer la dérivée de ff .

Correction
Soient aa et bb deux réels . Soit ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R} définie par f(x)=sin⁡(ax+b)f\left(x\right)=\sin \left(\red{a}x+\blue{b} \right).
Pour tout réel xx, on a alors : f′(x)=acos⁡(ax+b)f'\left(x\right)=\red{a}\cos \left(\red{a}x+\blue{b} \right)
ff est une fonction dérivable sur R\mathbb{R}.
Soit f(x)=sin⁡(3x+4)f\left(x\right)=\sin \left(\red{3}x+\blue{4} \right)
On reconnait la formule (sin⁡(ax+b))′=a(cos⁡(ax+b))\left(\sin \left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right)^{'} =\red{a}\left(\cos\left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right) où a=3\red{a=3} et b=4\blue{b=4}
Il en résulte donc que :
f′(x)=3cos⁡(3x+4)f'\left(x\right)=\red{3}\cos \left(\red{3}x+\blue{4} \right)

Question 2

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=sin⁡(−5x+2)f\left(x\right)=\sin \left(-5x+2 \right) . Calculer la dérivée de ff .

Correction
Soient aa et bb deux réels . Soit ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R} définie par f(x)=sin⁡(ax+b)f\left(x\right)=\sin \left(\red{a}x+\blue{b} \right).
Pour tout réel xx, on a alors : f′(x)=acos⁡(ax+b)f'\left(x\right)=\red{a}\cos \left(\red{a}x+\blue{b} \right)
ff est une fonction dérivable sur R\mathbb{R}.
Soit f(x)=sin⁡(−5x+2)f\left(x\right)=\sin \left(\red{-5}x+\blue{2} \right)
On reconnait la formule (sin⁡(ax+b))′=a(cos⁡(ax+b))\left(\sin \left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right)^{'} =\red{a}\left(\cos\left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right) où a=−5\red{a=-5} et b=2\blue{b=2}
Il en résulte donc que :
f′(x)=−5cos⁡(−5x+2)f'\left(x\right)=\red{-5}\cos \left(\red{-5}x+\blue{2} \right)

Question 3

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=sin⁡(7x−3)f\left(x\right)=\sin \left(7x-3 \right) . Calculer la dérivée de ff .

Correction
Soient aa et bb deux réels . Soit ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R} définie par f(x)=sin⁡(ax+b)f\left(x\right)=\sin \left(\red{a}x+\blue{b} \right).
Pour tout réel xx, on a alors : f′(x)=acos⁡(ax+b)f'\left(x\right)=\red{a}\cos \left(\red{a}x+\blue{b} \right)
ff est une fonction dérivable sur R\mathbb{R}.
Soit f(x)=sin⁡(7x−3)f\left(x\right)=\sin \left(\red{7}x\blue{-3} \right)
On reconnait la formule (sin⁡(ax+b))′=a(cos⁡(ax+b))\left(\sin \left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right)^{'} =\red{a}\left(\cos\left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right) où a=7\red{a=7} et b=−3\blue{b=-3}
Il en résulte donc que :
f′(x)=7cos⁡(7x−3)f'\left(x\right)=\red{7}\cos \left(\red{7}x\blue{-3} \right)
Question 4

f(x)=2sin⁡(6x+π4)f\left(x\right)=2\sin \left(6x+\frac{\pi }{4}\right)

Correction
Soient aa ; bb et kk trois réels . Soit ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R} définie par f(x)=ksin⁡(ax+b)f\left(x\right)=\purple{k}\sin \left(\red{a}x+\blue{b} \right).
Pour tout réel xx, on a alors : f′(x)=k×acos⁡(ax+b)f'\left(x\right)=\purple{k}\times\red{a}\cos \left(\red{a}x+\blue{b} \right)
ff est une fonction dérivable sur R\mathbb{R}.
Soit f(x)=2sin⁡(6x+π4)f\left(x\right)=\purple{2}\sin \left(\red{6}x+\blue{\frac{\pi }{4}} \right)
On reconnait la formule k(sin⁡(ax+b))′=k×a(cos⁡(ax+b))\purple{k}\left(\sin \left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right)^{'} =\purple{k}\times\red{a}\left(\cos\left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right) où a=6\red{a=6} ; b=π4\blue{b=\frac{\pi }{4}} et k=2\purple{k=2}
Il en résulte donc que :
f′(x)=2×6cos⁡(6x+π4)f'\left(x\right)=\purple{2}\times\red{6}\cos \left(\red{6}x+\blue{\frac{\pi }{4}} \right)
Ainsi :
f′(x)=12cos⁡(6x+π4)f'\left(x\right)=12\cos \left(6x+\frac{\pi }{4} \right)

Question 5

f(x)=5sin⁡(−4x+π7)f\left(x\right)=5\sin \left(-4x+\frac{\pi }{7}\right)

Correction
Soient aa ; bb et kk trois réels . Soit ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R} définie par f(x)=ksin⁡(ax+b)f\left(x\right)=\purple{k}\sin \left(\red{a}x+\blue{b} \right).
Pour tout réel xx, on a alors : f′(x)=k×acos⁡(ax+b)f'\left(x\right)=\purple{k}\times\red{a}\cos \left(\red{a}x+\blue{b} \right)
ff est une fonction dérivable sur R\mathbb{R}.
Soit f(x)=5sin⁡(−4x+π7)f\left(x\right)=\purple{5}\sin \left(\red{-4}x+\blue{\frac{\pi }{7}} \right)
On reconnait la formule k(sin⁡(ax+b))′=k×a(cos⁡(ax+b))\purple{k}\left(\sin \left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right)^{'} =\purple{k}\times\red{a}\left(\cos\left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right) où a=−4\red{a=-4} ; b=π7\blue{b=\frac{\pi }{7}} et k=5\purple{k=5}
Il en résulte donc que :
f′(x)=5×(−4)cos⁡(−4x+π7)f'\left(x\right)=\purple{5}\times(\red{-4})\cos \left(\red{-4}x+\blue{\frac{\pi }{7}} \right)
Ainsi :
f′(x)=−20cos⁡(−4x+π7)f'\left(x\right)=-20\cos \left(-4x+\frac{\pi }{7} \right)