Les fonctions circulaires ou les fonctions trigonométriques

Calculs de dérivées : (cos⁡(ax+b))′=−a(sin⁡(ax+b))\left(\cos \left(ax+b\right)\right)^{'} =-a\left(\sin \left(ax+b\right)\right) - Exercice 2

10 min
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Question 1

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=cos⁡(6x−2π5)f\left(x\right)=\cos \left(6x-\frac{2\pi }{5} \right) . Calculer la dérivée de ff .

Correction
Soient aa et bb deux réels . Soit ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R} définie par f(x)=cos⁡(ax+b)f\left(x\right)=\cos \left(\red{a}x+\blue{b} \right).
Pour tout réel xx, on a alors : f′(x)=−asin⁡(ax+b)f'\left(x\right)=-\red{a}\sin \left(\red{a}x+\blue{b} \right)
ff est une fonction dérivable sur R\mathbb{R}.
Soit f(x)=cos⁡(6x−2π5)f\left(x\right)=\cos \left(\red{6}x\blue{-\frac{2\pi }{5}} \right)
On reconnait la formule (cos⁡(ax+b))′=−a(sin⁡(ax+b))\left(\cos \left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right)^{'} =-\red{a}\left(\sin\left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right) où a=6\red{a=6} et b=−2π5\blue{b=-\frac{2\pi }{5}}
Il en résulte donc que :
f′(x)=−6sin⁡(6x−2π5)f'\left(x\right)=-\red{6}\sin \left(\red{6}x\blue{-\frac{2\pi }{5}} \right)

Question 2

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=cos⁡(−7x+11)f\left(x\right)=\cos \left(-7x+11 \right) . Calculer la dérivée de ff .

Correction
Soient aa et bb deux réels . Soit ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R} définie par f(x)=cos⁡(ax+b)f\left(x\right)=\cos \left(\red{a}x+\blue{b} \right).
Pour tout réel xx, on a alors : f′(x)=−asin⁡(ax+b)f'\left(x\right)=-\red{a}\sin \left(\red{a}x+\blue{b} \right)
ff est une fonction dérivable sur R\mathbb{R}.
Soit f(x)=cos⁡(−7x+11)f\left(x\right)=\cos \left(\red{-7}x+\blue{11} \right)
On reconnait la formule (cos⁡(ax+b))′=−a(sin⁡(ax+b))\left(\cos \left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right)^{'} =-\red{a}\left(\sin\left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right) où a=−7\red{a=-7} et b=11\blue{b=11}
Il en résulte donc que :
f′(x)=−(−7)sin⁡(−7x+11)f'\left(x\right)=-(\red{-7})\sin \left(\red{-7}x+\blue{11} \right)
f′(x)=7sin⁡(−7x+11)f'\left(x\right)=\red{7}\sin \left(\red{-7}x+\blue{11} \right)
Question 3

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=cos⁡(8x−4)f\left(x\right)=\cos \left(8x-4\right) . Calculer la dérivée de ff .

Correction
Soient aa et bb deux réels . Soit ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R} définie par f(x)=cos⁡(ax+b)f\left(x\right)=\cos \left(\red{a}x+\blue{b} \right).
Pour tout réel xx, on a alors : f′(x)=−asin⁡(ax+b)f'\left(x\right)=-\red{a}\sin \left(\red{a}x+\blue{b} \right)
ff est une fonction dérivable sur R\mathbb{R}.
Soit f(x)=cos⁡(8x−4)f\left(x\right)=\cos \left(\red{8}x\blue{-4} \right)
On reconnait la formule (cos⁡(ax+b))′=−a(sin⁡(ax+b))\left(\cos \left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right)^{'} =-\red{a}\left(\sin\left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right) où a=8\red{a=8} et b=−4\blue{b=-4}
Il en résulte donc que :
f′(x)=−8sin⁡(8x−4)f'\left(x\right)=-\red{8}\sin \left(\red{8}x\blue{-4} \right)

Question 4

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=5cos⁡(7x+π6)f\left(x\right)=5\cos \left(7x+\frac{\pi }{6} \right) . Calculer la dérivée de ff .

Correction
Soient aa ; bb et kk trois réels . Soit ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R} définie par f(x)=kcos⁡(ax+b)f\left(x\right)=\purple{k}\cos \left(\red{a}x+\blue{b} \right).
Pour tout réel xx, on a alors : f′(x)=−k×asin⁡(ax+b)f'\left(x\right)=-\purple{k}\times\red{a}\sin \left(\red{a}x+\blue{b} \right)
ff est une fonction dérivable sur R\mathbb{R}.
Soit f(x)=5cos⁡(7x+π6)f\left(x\right)=5\cos \left(\red{7}x+\blue{\frac{\pi }{6}} \right)
On reconnait la formule k(cos⁡(ax+b))′=−k×a(sin⁡(ax+b))\purple{k}\left(\cos \left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right)^{'} =-\purple{k}\times\red{a}\left(\sin\left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right) où a=7\red{a=7} ; b=π6\blue{b=\frac{\pi }{6}} et k=5\purple{k=5}
Il en résulte donc que :
f′(x)=−5×7sin⁡(7x+π6)f'\left(x\right)=-\purple{5}\times\red{7}\sin \left(\red{7}x+\blue{\frac{\pi }{6}} \right)
Ainsi :
f′(x)=−35sin⁡(7x+π6)f'\left(x\right)=-35\sin \left(7x+\frac{\pi }{6} \right)

Question 5

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=9cos⁡(−4x−8)f\left(x\right)=9\cos \left(-4x-8 \right) . Calculer la dérivée de ff .

Correction
Soient aa ; bb et kk trois réels . Soit ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R} définie par f(x)=kcos⁡(ax+b)f\left(x\right)=\purple{k}\cos \left(\red{a}x+\blue{b} \right).
Pour tout réel xx, on a alors : f′(x)=−k×asin⁡(ax+b)f'\left(x\right)=-\purple{k}\times\red{a}\sin \left(\red{a}x+\blue{b} \right)
ff est une fonction dérivable sur R\mathbb{R}.
Soit f(x)=9cos⁡(−4x−8)f\left(x\right)=9\cos \left(\red{-4}x\blue{-8} \right)
On reconnait la formule k(cos⁡(ax+b))′=−k×a(sin⁡(ax+b))\purple{k}\left(\cos \left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right)^{'} =-\purple{k}\times\red{a}\left(\sin\left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right) où a=−4\red{a=-4} ; b=−8\blue{b=-8} et k=9\purple{k=9}
Il en résulte donc que :
f′(x)=−9×(−4)sin⁡(−4x−8)f'\left(x\right)=-\purple{9}\times(\red{-4})\sin \left(\red{-4}x\blue{-8} \right)
Ainsi :
f′(x)=36sin⁡(−4x−8)f'\left(x\right)=36\sin \left(-4x-8 \right)