Les fonctions circulaires ou les fonctions trigonométriques

Calculs de dérivées : (cos⁡(ax+b))′=−a(sin⁡(ax+b))\left(\cos \left(ax+b\right)\right)^{'} =-a\left(\sin \left(ax+b\right)\right) - Exercice 1

10 min
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Question 1

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=cos⁡(2x−π4)f\left(x\right)=\cos \left(2x-\frac{\pi }{4} \right) . Calculer la dérivée de ff .

Correction
Soient aa et bb deux réels . Soit ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R} définie par f(x)=cos⁡(ax+b)f\left(x\right)=\cos \left(\red{a}x+\blue{b} \right).
Pour tout réel xx, on a alors : f′(x)=−asin⁡(ax+b)f'\left(x\right)=-\red{a}\sin \left(\red{a}x+\blue{b} \right)
ff est une fonction dérivable sur R\mathbb{R}.
Soit f(x)=cos⁡(2x−π4)f\left(x\right)=\cos \left(\red{2}x\blue{-\frac{\pi }{4}} \right)
On reconnait la formule (cos⁡(ax+b))′=−a(sin⁡(ax+b))\left(\cos \left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right)^{'} =-\red{a}\left(\sin\left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right) où a=2\red{a=2} et b=−π4\blue{b=-\frac{\pi }{4}}
Il en résulte donc que :
f′(x)=−2sin⁡(2x−π4)f'\left(x\right)=-\red{2}\sin \left(\red{2}x\blue{-\frac{\pi }{4}} \right)

Question 2

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=cos⁡(−5x+7)f\left(x\right)=\cos \left(-5x+7 \right) . Calculer la dérivée de ff .

Correction
Soient aa et bb deux réels . Soit ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R} définie par f(x)=cos⁡(ax+b)f\left(x\right)=\cos \left(\red{a}x+\blue{b} \right).
Pour tout réel xx, on a alors : f′(x)=−asin⁡(ax+b)f'\left(x\right)=-\red{a}\sin \left(\red{a}x+\blue{b} \right)
ff est une fonction dérivable sur R\mathbb{R}.
Soit f(x)=cos⁡(−5x+7)f\left(x\right)=\cos \left(\red{-5}x+\blue{7} \right)
On reconnait la formule (cos⁡(ax+b))′=−a(sin⁡(ax+b))\left(\cos \left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right)^{'} =-\red{a}\left(\sin\left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right) où a=−5\red{a=-5} et b=7\blue{b=7}
Il en résulte donc que :
f′(x)=−(−5)sin⁡(−5x+7)f'\left(x\right)=-(\red{-5})\sin \left(\red{-5}x+\blue{7} \right)
f′(x)=5sin⁡(−5x+7)f'\left(x\right)=\red{5}\sin \left(\red{-5}x+\blue{7} \right)
Question 3

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=cos⁡(3x−1)f\left(x\right)=\cos \left(3x-1\right) . Calculer la dérivée de ff .

Correction
Soient aa et bb deux réels . Soit ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R} définie par f(x)=cos⁡(ax+b)f\left(x\right)=\cos \left(\red{a}x+\blue{b} \right).
Pour tout réel xx, on a alors : f′(x)=−asin⁡(ax+b)f'\left(x\right)=-\red{a}\sin \left(\red{a}x+\blue{b} \right)
ff est une fonction dérivable sur R\mathbb{R}.
Soit f(x)=cos⁡(3x−1)f\left(x\right)=\cos \left(\red{3}x\blue{-1} \right)
On reconnait la formule (cos⁡(ax+b))′=−a(sin⁡(ax+b))\left(\cos \left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right)^{'} =-\red{a}\left(\sin\left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right) où a=3\red{a=3} et b=−1\blue{b=-1}
Il en résulte donc que :
f′(x)=−3sin⁡(3x−1)f'\left(x\right)=-\red{3}\sin \left(\red{3}x\blue{-1} \right)

Question 4

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=3cos⁡(4x+π3)f\left(x\right)=3\cos \left(4x+\frac{\pi }{3} \right) . Calculer la dérivée de ff .

Correction
Soient aa ; bb et kk trois réels . Soit ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R} définie par f(x)=kcos⁡(ax+b)f\left(x\right)=\purple{k}\cos \left(\red{a}x+\blue{b} \right).
Pour tout réel xx, on a alors : f′(x)=−k×asin⁡(ax+b)f'\left(x\right)=-\purple{k}\times\red{a}\sin \left(\red{a}x+\blue{b} \right)
ff est une fonction dérivable sur R\mathbb{R}.
Soit f(x)=3cos⁡(4x+π3)f\left(x\right)=3\cos \left(\red{4}x+\blue{\frac{\pi }{3}} \right)
On reconnait la formule k(cos⁡(ax+b))′=−k×a(sin⁡(ax+b))\purple{k}\left(\cos \left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right)^{'} =-\purple{k}\times\red{a}\left(\sin\left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right) où a=4\red{a=4} ; b=π3\blue{b=\frac{\pi }{3}} et k=3\purple{k=3}
Il en résulte donc que :
f′(x)=−3×4sin⁡(4x+π3)f'\left(x\right)=-\purple{3}\times\red{4}\sin \left(\red{4}x+\blue{\frac{\pi }{3}} \right)
Ainsi :
f′(x)=−12sin⁡(4x+π3)f'\left(x\right)=-12\sin \left(4x+\frac{\pi }{3} \right)

Question 5

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=6cos⁡(−3x−7)f\left(x\right)=6\cos \left(-3x-7 \right) . Calculer la dérivée de ff .

Correction
Soient aa ; bb et kk trois réels . Soit ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R} définie par f(x)=kcos⁡(ax+b)f\left(x\right)=\purple{k}\cos \left(\red{a}x+\blue{b} \right).
Pour tout réel xx, on a alors : f′(x)=−k×asin⁡(ax+b)f'\left(x\right)=-\purple{k}\times\red{a}\sin \left(\red{a}x+\blue{b} \right)
ff est une fonction dérivable sur R\mathbb{R}.
Soit f(x)=6cos⁡(−3x−7)f\left(x\right)=6\cos \left(\red{-3}x\blue{-7} \right)
On reconnait la formule k(cos⁡(ax+b))′=−k×a(sin⁡(ax+b))\purple{k}\left(\cos \left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right)^{'} =-\purple{k}\times\red{a}\left(\sin\left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right) où a=−3\red{a=-3} ; b=−7\blue{b=-7} et k=6\purple{k=6}
Il en résulte donc que :
f′(x)=−6×(−3)sin⁡(−3x−7)f'\left(x\right)=-\purple{6}\times(\red{-3})\sin \left(\red{-3}x\blue{-7} \right)
Ainsi :
f′(x)=18sin⁡(−3x−7)f'\left(x\right)=18\sin \left(-3x-7 \right)