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Calculs de dérivées avec les fonctions cos⁡(x)\cos\left(x\right) et sin⁡(x)\sin\left(x\right) - Exercice 1

5 min
15
COMPETENCES‾  :  Calculer{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;Calculer}
Question 1

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=2cos⁡(x)−5xf\left(x\right)=2\cos \left(x \right)-5x . Calculer la dérivée de ff .

Correction
Soit ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R} définie par f(x)=cos⁡(x)f\left(x\right)=\cos \left(x \right).
Pour tout réel xx, on a alors : f′(x)=−sin⁡(x)f'\left(x\right)=-\sin \left(x \right)
ff est une fonction dérivable sur R\mathbb{R}.
Soit f(x)=2cos⁡(x)−5xf\left(x\right)=2\cos \left(x \right)-5x
Il en résulte donc que :
f(x)=2cos⁡(x)−5xf\left(x\right)=2\cos \left(x \right)-5x
f′(x)=−2sin⁡(x)−5f'\left(x\right)=-2\sin \left(x \right)-5

Question 2

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=4sin⁡(x)+3x2f\left(x\right)=4\sin \left(x \right)+3x^{2} . Calculer la dérivée de ff .

Correction
Soit ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R} définie par f(x)=sin⁡(x)f\left(x\right)=\sin \left(x \right).
Pour tout réel xx, on a alors : f′(x)=cos⁡(x)f'\left(x\right)=\cos \left(x \right)
ff est une fonction dérivable sur R\mathbb{R}.
Soit f(x)=4sin⁡(x)+3x2f\left(x\right)=4\sin \left(x \right)+3x^{2}
Il en résulte donc que :
f′(x)=4cos⁡(x)+3×2xf'\left(x\right)=4\cos \left(x \right)+3\times2x
f′(x)=4cos⁡(x)+6xf'\left(x\right)=4\cos \left(x \right)+6x

Question 3

Soit hh la fonction définie sur R\mathbb{R} par h(x)=−5cos⁡(x)+3sin⁡(x)+9x3h\left(x\right)=-5\cos \left(x \right)+3\sin\left(x \right)+9x^{3} . Calculer la dérivée de hh .

Correction
Soit ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R} définie par f(x)=sin⁡(x)f\left(x\right)=\sin \left(x \right).
Pour tout réel xx, on a alors : f′(x)=cos⁡(x)f'\left(x\right)=\cos \left(x \right)
Soit ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R} définie par f(x)=cos⁡(x)f\left(x\right)=\cos \left(x \right).
Pour tout réel xx, on a alors : f′(x)=−sin⁡(x)f'\left(x\right)=-\sin \left(x \right)
hh est une fonction dérivable sur R\mathbb{R}.
Soit h(x)=−5cos⁡(x)+3sin⁡(x)+9x3h\left(x\right)=-5\cos \left(x \right)+3\sin \left(x \right)+9x^{3}
Il en résulte donc que :
h′(x)=−5×(−sin⁡(x))+3cos⁡(x)+9×3x2h'\left(x\right)=-5\times\left(-\sin \left(x \right)\right)+3\cos \left(x \right)+9\times3x^{2}
h′(x)=5sin⁡(x)+3cos⁡(x)+27x2h'\left(x\right)=5\sin \left(x \right)+3\cos \left(x \right)+27x^{2}

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