Les fonctions circulaires ou les fonctions trigonométriques
Calculs de dérivées avec les fonctions cos(x) et sin(x)
Exercice 1
1
Soit
f la fonction définie sur
R par
f(x)=2cos(x)−5x . Calculer la dérivée de
f .
Soit
f une fonction dérivable sur
R définie par
f(x)=cos(x).
Pour tout réel
x, on a alors :
f′(x)=−sin(x) est une fonction dérivable sur
R.
Soit
f(x)=2cos(x)−5xIl en résulte donc que :
f(x)=2cos(x)−5x f′(x)=−2sin(x)−5 2
Soit
f la fonction définie sur
R par
f(x)=4sin(x)+3x2 . Calculer la dérivée de
f .
Soit
f une fonction dérivable sur
R définie par
f(x)=sin(x).
Pour tout réel
x, on a alors :
f′(x)=cos(x) est une fonction dérivable sur
R.
Soit
f(x)=4sin(x)+3x2Il en résulte donc que :
f′(x)=4cos(x)+3×2x f′(x)=4cos(x)+6x 3
Soit
h la fonction définie sur
R par
h(x)=−5cos(x)+3sin(x)+9x3 . Calculer la dérivée de
h .
Soit
f une fonction dérivable sur
R définie par
f(x)=sin(x).
Pour tout réel
x, on a alors :
f′(x)=cos(x)Soit
f une fonction dérivable sur
R définie par
f(x)=cos(x).
Pour tout réel
x, on a alors :
f′(x)=−sin(x) est une fonction dérivable sur
R.
Soit
h(x)=−5cos(x)+3sin(x)+9x3Il en résulte donc que :
h′(x)=−5×(−sin(x))+3cos(x)+9×3x2 h′(x)=5sin(x)+3cos(x)+27x2 Exercice 2
1
Soit
f la fonction définie sur
R par
f(x)=sin(x)cos(x) . Calculer la dérivée de
f .
Soit
f une fonction dérivable sur
R définie par
f(x)=sin(x).
Pour tout réel
x, on a alors :
f′(x)=cos(x)Soit
f une fonction dérivable sur
R définie par
f(x)=cos(x).
Pour tout réel
x, on a alors :
f′(x)=−sin(x) est dérivable sur
R.
On reconnaît la forme
(uv)′=u′v+uv′ avec
u(x)=sin(x) et
v(x)=cos(x)Ainsi :
u′(x)=cos(x) et
v′(x)=−sin(x).
Il vient alors que :
f′(x)=cos(x)×cos(x)+sin(x)×(−sin(x)) Ainsi :
f′(x)=cos2(x)−sin2(x) 2
Soit
f la fonction dérivable sur
I telle que
f(x)=cos(x)sin(x) . Calculer la dérivée de
f .
Soit
f une fonction dérivable sur
R définie par
f(x)=sin(x).
Pour tout réel
x, on a alors :
f′(x)=cos(x)Soit
f une fonction dérivable sur
R définie par
f(x)=cos(x).
Pour tout réel
x, on a alors :
f′(x)=−sin(x) est dérivable sur
R.
On reconnaît la forme
(vu)′=v2u′v−uv′ avec
u(x)=sin(x) et
v(x)=cos(x)Ainsi :
u′(x)=cos(x) et
v′(x)=−sin(x).
Il vient alors que :
f′(x)=cos2(x)cos(x)×cos(x)−sin(x)×(−sin(x)) f′(x)=cos2(x)cos2(x)+sin2(x) . On rappelle que
cos2(x)+sin2(x)=1Ainsi :
f′(x)=cos2(x)1 3
Soit
f la fonction définie sur
R par
f(x)=x2cos(x) . Calculer la dérivée de
f .
Soit
f une fonction dérivable sur
R définie par
f(x)=cos(x).
Pour tout réel
x, on a alors :
f′(x)=−sin(x)On reconnaît la forme
(uv)′=u′v+uv′ avec
u(x)=x2 et
v(x)=cos(x)Ainsi :
u′(x)=2x et
v′(x)=−sin(x).
Il vient alors que :
f′(x)=2xcos(x)+x2×(−sinx) Ainsi :
f′(x)=2xcos(x)−x2sinx