Fonctions polynômes de degré 3

Comment étudier le signe d'un produit de la forme a(x−x1)(x−x2)(x−x3)a\left(x-x_{1} \right)\left(x-x_{2} \right)\left(x-x_{3} \right) - Exercice 2

10 min
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Etablir le tableau de signe de chacune des fonctions produits suivantes :
Question 1

f(x)=4(x+7)(x−2)(x−9)f\left(x\right)=4\left(x+7\right)\left(x-2\right)\left(x-9\right) sur R\mathbb{R}

Correction
Pour étudier le signe d'un produit :
  • On étudie le signe de chaque facteur.
  • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
  • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • Premieˋrement :\red{\text{Premièrement :}}
    • x+7=0⇔x=−7x+7=0\Leftrightarrow x=-7
    Soit x↦x+7x\mapsto x+7 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x+7x+7 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=−7x=-7 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.
  • Deuxieˋmement :\red{\text{Deuxièmement :}}
    • x−2=0⇔x=2x-2=0\Leftrightarrow x=2
    Soit x↦x−2x\mapsto x-2 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−2x-2 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=2x=2 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.
  • Troisieˋmement :\red{\text{Troisièmement :}}
    • x−9=0⇔x=9x-9=0\Leftrightarrow x=9
    Soit x↦x−9x\mapsto x-9 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−9x-9 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=9x=9 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.
    Enfin :\red{\text{Enfin :}} 44 est strictement positif. On mettra que le signe (+)\left(+\right) dans la ligne de 44.
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
    Question 2

    f(x)=−5(x+8)(x+11)(x−1)f\left(x\right)=-5\left(x+8\right)\left(x+11\right)\left(x-1\right) sur R\mathbb{R}

    Correction
    Pour étudier le signe d'un produit :
    • On étudie le signe de chaque facteur.
    • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • Premieˋrement :\red{\text{Premièrement :}}
    • x+8=0⇔x=−8x+8=0\Leftrightarrow x=-8
    Soit x↦x+8x\mapsto x+8 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x+8x+8 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=−8x=-8 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • Deuxieˋmement :\red{\text{Deuxièmement :}}
    • x+11=0⇔x=−11x+11=0\Leftrightarrow x=-11
    Soit x↦x+11x\mapsto x+11 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x+11x+11 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=−11x=-11 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • Troisieˋmement :\red{\text{Troisièmement :}}
    • x−1=0⇔x=1x-1=0\Leftrightarrow x=1
    Soit x↦x−1x\mapsto x-1 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−1x-1 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=1x=1 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Enfin :\red{\text{Enfin :}} −5-5 est strictement négatif. On mettra que le signe (−)\left(-\right) dans la ligne de −5-5.
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :