Variations des fonctions polynômes du troisième degré - Exercice 3

$$f'\left(x\right)=3 x^{2} +4,5\times 2x-30$$

Nous voulons obtenir : $$f'\left(x\right)=3\left(x+5\right)\left(x-2\right)$$
Pour cela nous allons développer l'expression donnée $$3\left(x+5\right)\left(x-2\right)$$ .
Il vient alors que :
$$3\left(x+5\right)\left(x-2\right)=3(x\times x+x\times \left(-2\right)+5\times x+5\times \left(-2\right))$$
$$3\left(x+5\right)\left(x-2\right)=3(x^{2} -2x+5x-10)$$
$$3\left(x+5\right)\left(x-2\right)=3(x^{2} +3x-10)$$
$$3\left(x+5\right)\left(x-2\right)=3\times{x^{2}} +3\times{3x}+3\times{(-10)}$$
$$3\left(x+5\right)\left(x-2\right)=3x^2+9x-30$$
Ainsi :

Nous savons que : $$f'\left(x\right)=3\left(x+5\right)\left(x-2\right)$$ . Nous allons donc dresser le tableau de signe de $$f'$$ qui nous donnera ensuite les variations de $$f$$ .

$$\red{\text{D'une part :}}$$

$$x+5=0\Leftrightarrow x=-5$$
Soit $$x\mapsto x+5$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=1>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$x+5$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=-5$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{D'autre part :}}$$

$$x-2=0\Leftrightarrow x=2$$
Soit $$x\mapsto x-2$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=1>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$x-2$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=2$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
Et enfin, le coefficient $$3$$ est strictement positif, c'est à dire que dans la ligne de $$3$$ on ne mettra que le signe $$\left(+\right)$$ .
Il vient alors que :

On en déduit le tableau de variation suivant :

$$f\left(-7\right)= \left(-7\right)^{3} +4,5\times\left(-7\right)^{2} -30\times\left(-7\right)+1$$ d'où

$$f\left(-7\right)= 88,5$$

$$f\left(-5\right)= \left(-5\right)^{3} +4,5\times\left(-5\right)^{2} -30\times\left(-5\right)+1$$ d'où

$$f\left(-5\right)= 138,5$$

$$f\left(2\right)= 2^{3} +4,5\times2^{2} -30\times2+1$$ d'où

$$f\left(2\right)=-33$$

$$f\left(3\right)= 3^{3} +4,5\times3^{2} -30\times3+1$$ d'où

$$f\left(3\right)=-21,5$$