Qui aura 20 en maths ?

💯 Le grand concours 100% Terminale revient le 31 mai 2026 en ligne !Découvrir  →

Bac 2026 - Spé Maths

📘 Un livret avec les 41 exercices types qui tombent (presque) chaque année au bac !Télécharger  →

Variations des fonctions polynômes du troisième degré - Exercice 2

8 min
15
Question 1
Soit ff la fonction définie par f(x)=x3−2x2+xf\left(x\right)= x^{3} -2x^{2} +x sur l'intervalle [−2;6]\left[-2;6\right].

Déterminer la dérivée de ff sur l'intervalle [−2;6]\left[-2;6\right], et montrer que f′(x)=3(x−13)(x−1)f'\left(x\right)=3\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-1\right) .

Correction
  • La dérivée d'un nombre{\color{blue}nombre} est 0.{\color{blue}0} .
  • La dérivée d'un nombre×x{\color{blue}nombre\times x} est nombre.{\color{blue}nombre} .
  • La dérivée de x2{\color{blue}x^{2}} est 2x.{\color{blue}2x} .
  • La dérivée d'un nombre×x2{\color{blue}nombre\times x^{2}} est nombre×2x.{\color{blue}nombre\times2x} .
  • La dérivée d'un x3{\color{blue}x^{3}} est 3x2.{\color{blue}3x^{2}} .
  • La dérivée d'un nombre×x3{\color{blue}nombre\times x^{3}} est nombre×3x2.{\color{blue}nombre\times3x^{2}} .
    • f′(x)=3x2−2×2x+1f'\left(x\right)=3 x^{2} -2\times 2x+1
    f′(x)=3x2−4x+1f'\left(x\right)=3x^{2} -4x+1

    Nous voulons obtenir : f′(x)=3(x−13)(x−1)f'\left(x\right)=3\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-1\right) .
    Pour cela nous allons développer l'expression donnée 3(x−13)(x−1)3\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-1\right) .
    Il vient alors que :
    3(x−13)(x−1)=3(x×x+x×(−1)−13×x−13×(−1))3\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-1\right) =3\left(x\times{x}+x\times{(-1)}-\frac{1}{3}\times{x}-\frac{1}{3}\times{(-1)}\right)
    3(x−13)(x−1)=3(x2−x−13x+13)3\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-1\right)=3\left(x^2-x-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\right)
    3(x−13)(x−1)=3(x2−43x+13)3\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-1\right)=3\left(x^2-\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}\right)
    3(x−13)(x−1)=3×x2−3×43x+3×133\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-1\right)=3\times{x^2}-3\times{\frac{4}{3}x}+3\times{\frac{1}{3}}
    3(x−13)(x−1)=3x2−4x+13\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-1\right)=3{x^2}-4x+1
    Ainsi :
    f′(x)=3(x−13)(x−1)f'\left(x\right)=3\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-1\right)
    Question 2

    Dresser le tableau de signe de f′f' sur l'intervalle [−2;6]\left[-2;6\right] .

    Correction
    Nous savons que : f′(x)=3(x−13)(x−1)f'\left(x\right)=3\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-1\right) . Nous allons donc dresser le tableau de signe de f′f' qui nous donnera ensuite les variations de ff .
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
    • x−13=0⇔x=13x-\frac{1}{3}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}
    Soit x↦x−13x\mapsto x-\frac{1}{3} est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−13x-\frac{1}{3} par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=13x=\frac{1}{3} on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
    • x−1=0⇔x=1x-1=0\Leftrightarrow x=1
    Soit x↦x−1x\mapsto x-1 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−1x-1 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=1x=1 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Et enfin, le coefficient 33 est strictement positif, c'est à dire que dans la ligne de 33 on ne mettra que le signe (+)\left(+\right) .
    Il vient alors que :
    Question 3

    Étudier les variations de la fonction ff sur l’intervalle [−2;6]\left[-2;6\right] .

    Correction
    • Si f′f' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si f′f' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    On en déduit le tableau de variation suivant :
  • f(−2)=(−2)3−2×(−2)2+1f\left(-2\right)= \left(-2\right)^{3} -2\times\left(-2\right)^{2} +1 d'où
    f(−2)=−18f\left(-2\right)= -18
  • f(1)=13−2×12+1f\left(1\right)= 1^{3} -2\times1^{2} +1 d'où
    f(1)=0f\left(1\right)= 0
  • f(6)=63−2×62+1f\left(6\right)= 6^{3} -2\times6^{2} +1 d'où
    f(6)=150f\left(6\right)= 150
  • f(13)=427f\left(\frac{1}{3}\right)= \frac{4}{27}

    • Signaler une erreur

    Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

    Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.