Variations des fonctions polynômes du troisième degré - Exercice 1

$$f'\left(x\right)=\frac{1}{3} \times 3x^{2} -3\times 2x+5$$
$$f'\left(x\right)=x^{2} -6x+5$$
Nous voulons obtenir : $$f'\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-5\right)$$
Pour cela nous allons développer l'expression donnée $$\left(x-1\right)\left(x-5\right)$$ .
Il vient alors que :
$$\left(x-1\right)\left(x-5\right)=x\times x+x\times \left(-5\right)+\left(-1\right)\times x+\left(-1\right)\times \left(-5\right)$$
$$\left(x-1\right)\left(x-5\right)=x^{2} -5x-x+5$$
$$\left(x-1\right)\left(x-5\right)=x^{2} -6x+5$$
Ainsi :

Nous savons que : $$f'\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-5\right)$$ . Nous allons donc dresser le tableau de signe de $$f'$$ qui nous donnera ensuite les variations de $$f$$ .

$$\red{\text{D'une part :}}$$

$$x-1=0\Leftrightarrow x=1$$
Soit $$x\mapsto x-1$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=1>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$x-1$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=1$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{D'autre part :}}$$

$$x-5=0\Leftrightarrow x=5$$
Soit $$x\mapsto x-5$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=1>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$x-5$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=5$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
Il vient alors que :

Il en résulte donc que :

$$f\left(0\right)=\frac{1}{3} \times 0^{3} -3\times 0^{2} +5\times 0+2$$ ainsi $$f\left(0\right)=2$$

$$f\left(1\right)=\frac{1}{3} \times 1^{3} -3\times 1^{2} +5\times 1+2$$ ainsi $$f\left(1\right)=\frac{13}{3}$$

$$f\left(5\right)=\frac{1}{3} \times 5^{3} -3\times 5^{2} +5\times 5+2$$ ainsi $$f\left(5\right)=-\frac{19}{3}$$

$$f\left(9\right)=\frac{1}{3} \times 9^{3} -3\times 9^{2} +5\times 9+2$$ ainsi $$f\left(9\right)=47$$