Variations des fonctions polynômes du second degré - Exercice 8

$$f'\left(x\right)=-5\times 2x+40$$

Nous savons que : $$f'\left(x\right)=-10x+40$$
Ici la dérivée est une fonction du $$1$$^er degré.
Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation $$f'\left(x\right)\ge 0$$.
En effet, en résolvant $$f'\left(x\right)\ge 0$$, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)\ge 0$$ équivaut successivement à
$$-10x+40\ge 0$$
$$-10x\ge -40$$
$$x\le \frac{-40}{-10}$$ . $${\color{red}\text{Attention : on change le sens de l'inéquation car on divise par un négatif.}}$$
$$x\le 4$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$-10x+40$$ lorsque $$x$$ sera inférieur ou égale à $$4$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left[0;4\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[4;5\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :

$$f\left(0\right)=-5\times0^{2} +40\times0-1$$ d'où

$$f\left(0\right)=-1$$

$$f\left(4\right)=-5\times4^{2} +40\times4-1$$ d'où

$$f\left(4\right)=79$$

$$f\left(5\right)=-5\times5^{2} +40\times5-1$$ d'où

$$f\left(5\right)=74$$