Variations des fonctions polynômes du second degré - Exercice 5

7 min
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Soit ff la fonction définie par f(x)=4x2−80x+7f\left(x\right)=4x^{2} -80x+7 sur l'intervalle [4;15]\left[4;15\right] .
Question 1

Déterminer la dérivée de ff sur l'intervalle [4;15]\left[4;15\right].

Correction
  • La dérivée d'un nombre{\color{blue}nombre} est 0.{\color{blue}0} .
  • La dérivée d'un nombre×x{\color{blue}nombre\times x} est nombre.{\color{blue}nombre} .
  • La dérivée de x2{\color{blue}x^{2}} est 2x.{\color{blue}2x} .
  • La dérivée d'un nombre×x2{\color{blue}nombre\times x^{2}} est nombre×2x.{\color{blue}nombre\times2x} .
    • f′(x)=4×2x−80f'\left(x\right)=4\times 2x-80
    f′(x)=8x−80f'\left(x\right)=8x-80
    Question 2

    Étudier les variations de la fonction ff sur l’intervalle [4;15]\left[4;15\right].

    Correction
    • Si f′f' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si f′f' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    Nous savons que : f′(x)=8x−80f'\left(x\right)=8x-80
    Ici la dérivée est une fonction du 11er degré.
    Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation f′(x)≥0f'\left(x\right)\ge 0.
    En effet, en résolvant f′(x)≥0f'\left(x\right)\ge 0, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
    Il vient alors que :
    f′(x)≥0f'\left(x\right)\ge 0 équivaut successivement à
    8x−80≥08x-80\ge 0
    8x≥808x\ge 80
    x≥808x\ge \frac{80}{8}
    x≥10x\ge 10
    Cela signifie que l'on va mettre le signe ++ dans la ligne de 8x−808x-80 lorsque xx sera supérieur ou égale à 1010.
    Il en résulte donc que :
    • si x∈[4;10]x\in\left[4;10\right] alors f′(x)≤0f'\left(x\right)\le0 et donc ff est décroissante sur cet intervalle.
    • si x∈[10;15]x\in\left[10;15\right] alors f′(x)≥0f'\left(x\right)\ge0 et donc ff est croissante sur cet intervalle.
    Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :

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