Exercices types : 1^ère partie - Exercice 1

$$f\left(x\right)=-2x^{2}+90x-400$$
$$f'\left(x\right)=-2\times2x+90$$

Nous savons que : $$f'\left(x\right)=-4x+90$$
Ici la dérivée est une fonction du $$1$$^er degré.
Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation $$f'\left(x\right)\ge 0$$.
En effet, en résolvant $$f'\left(x\right)\ge 0$$, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)\ge 0$$ équivaut successivement à
$$-4x+90\ge 0$$
$$-4x\ge -90$$
$$x\le \frac{-90}{-4}$$ . $${\color{red}\text{Attention : on change le sens de l'inéquation car on divise par un négatif.}}$$
$$x\le 22,5$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$-4x+90$$ lorsque $$x$$ sera inférieur ou égale à $$22,5$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left[15;22,5\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[22,5;30\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :

Nous allons compléter le tableau de variation en indiquant toutes les valeurs :

$$f\left(15\right)=-2\times15^{2}+90\times15-400$$ ainsi $$f\left(15\right)=500$$

$$f\left(22,5\right)=-2\times22,5^{2}+90\times22,5-400$$ ainsi $$f\left(22,5\right)=612,5$$

$$f\left(30\right)=-2\times30^{2}+90\times30-400$$ ainsi $$f\left(30\right)=500$$

Le maximum est atteint en $$x=22,5$$ et il vaut $$612,5$$

Le bénéfice est maximal pour une production de $$2250$$ panneaux solaires ( car nous avons $$22,5$$ centaines ).
Le bénéfice est alors de $$61$$ $$250$$ euros. N'oublions pas que le bénéfice de l’entreprise est exprimé en centaine d’euros