Déterminer les extrema d'une fonction - Exercice 2

Soit $$f\left(x\right)=x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-6x+2$$, il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=3x^{2}+\frac{3}{2}\times2x-6$$
Ainsi :

D'après la question $$1$$, nous savons que : $$f'\left(x\right)=3x^{2}+3x-6$$ .
Nous allons développer l'expression donnée $$3\left(x-1\right)\left(x+2\right)$$ et il faudra obtenir la forme développée $$3x^{2}+3x-6$$ .
Ce qui nous donne :
$$3\left(x-1\right)\left(x+2\right)=3\left(x\times x +x\times 2+\left(-1\right)\times x+\left(-1\right)\times 2\right)$$
$$3\left(x-1\right)\left(x+2\right)=3\left(x^{2} +2x-x-2\right)$$
$$3\left(x-1\right)\left(x+2\right)=3\left(x^{2} +x-2\right)$$
$$3\left(x-1\right)\left(x+2\right)=3\times x^{2} +3\times x +3\times \left(-2\right)$$
$$3\left(x-1\right)\left(x+2\right)=3x^{2}+3x-6$$
Il en résult donc que pour tout réel $$x\in \left[-3;2\right]$$, on a : $$f'\left(x\right)=3\left(x-1\right)\left(x+2\right)$$

$$\red{\text{D'une part :}}$$

$$x-1=0\Leftrightarrow x=1$$
Soit $$x\mapsto x-1$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=1>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$x-1$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=1$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{D'autre part :}}$$

$$x+2=0\Leftrightarrow x=-2$$
Soit $$x\mapsto x+2$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=1>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$x+2$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=-2$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
$$\red{\text{Enfin :}}$$ $$3$$ est strictement positif. On mettra que le signe $$\left(+\right)$$ dans la ligne de $$3$$.
Le tableau du signe du produit (ici il s'agit de $$f'$$) est donné ci-dessous :

D'après le tableau ci-dessus :

$$f'$$ s'annule en changeant de signe en $$-2$$ donc $$f$$ admet un $$\text{\red{extremum local}}$$. Il s’agit, dans cette situation, d'un maximum

$$f'$$ s'annule en changeant de signe en $$1$$ donc $$f$$ admet un $$\text{\red{extremum local}}$$. Il s’agit, dans cette situation, d'un minimum

De plus :

Le maximum de $$f$$ sur $$\left[-3,2\right]$$ est atteint en $$x=-2$$ et a pour valeur $$12$$ .

Le minimum de $$f$$ sur $$\left[-3,2\right]$$ est atteint en $$x=1$$ et a pour valeur $$-\frac{3}{2}$$ .

Ici $$a=0$$, ce qui donne, $$y=f'\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right)$$.
1^ère étape : calculer la dérivée de $$f$$
D'après la question $$1$$, nous savons que : $$f'\left(x\right)=3x^{2}+3x-6$$
2^ème étape : calculer $$f\left(0\right)$$
$$f\left(0\right)=0^{3}+\frac{3}{2}\times 0^{2}-6\times 0+2$$
$$f\left(0\right)=2$$
3^ème étape : calculer $$f'\left(0\right)$$
$$f'\left(0\right)=3\times 0^{2}+3\times 0-6$$
$$f'\left(0\right)=-6$$
4^ème étape : on remplace les valeurs de $$f\left(0\right)$$ et de $$f'\left(0\right)$$ dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
$$y=f'\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right)$$
$$y=\left(-6\right)\times \left(x-0\right)+2$$
$$y=\left(-6\right)\times x+2$$
$$y=-6x+2$$
Ainsi l'équation de la tangente à la courbe $$C_{f}$$ au point $$A$$ d'abscisse $$0$$ est alors $$y=-6x+2$$.