Déterminer le nombre dérivée d'une fonction en une valeur $$a$$ - Exercice 2

1^ère étape : On calcule $$f\left(2\right)$$
$$f\left(2\right)=3\times 2^{2}+4$$
$$f\left(2\right)=3\times 4+4$$
$$f\left(2\right)=16$$
2^ème étape : On calcule $$f\left(2+h\right)$$
$$f\left(2+h\right)=3\left(2+h\right)^{2} +4$$
$$f\left(2+h\right)= 3\times \left(4+4h+h^{2}\right)+4$$
$$f\left(2+h\right)= 3\times 4+3\times 4h+3\times h^{2}+4$$
$$f\left(2+h\right)= 12+12h+3h^{2}+4$$
$$f\left(2+h\right)= 3h^{2}+12h+16$$
3^ème étape : On calcule $$f\left(2+h\right)-f\left(2\right)$$
$$f\left(2+h\right)-f\left(2\right)=3h^{2}+12h+16-16$$
$$f\left(2+h\right)-f\left(2\right)=3h^{2}+12h$$
4^ème étape : On calcule $$\frac{f\left(2+h\right)-f\left(2\right)}{h}$$
$$\frac{f\left(2+h\right)-f\left(2\right)}{h} =\frac{3h^{2} +12h}{h}$$
On va factoriser le numérateur par $$h$$.
$$\frac{f\left(2+h\right)-f\left(2\right)}{h} =\frac{h\left(3h+12\right)}{h}$$
On simplifie par $$h$$.
$$\frac{f\left(2+h\right)-f\left(2\right)}{h} =3h+12$$
5^ème étape : On calcule $$\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(2+h\right)-f\left(2\right)}{h}$$
$$\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(2+h\right)-f\left(2\right)}{h} =\lim\limits_{h\to 0} 3h+12$$
Cela signifie que l'on remplace tous les $$h$$ par zéro.
$$\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(2+h\right)-f\left(2\right)}{h} =12.$$
Il en résulte donc que le nombre dérivé de la fonction $$f$$ en $$2$$ est alors .