Trigonométrie

Manipuler la formule cos2(x)+sin2(x)=1\cos ^{2} \left(x\right)+\sin ^{2} \left(x\right)=1 - Exercice 2

15 min
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Soit xx un réel de l'intervalle [π2;0]\left[-\frac{\pi }{2} ;0\right] tel que cos(x)=34\cos \left(x\right)=\frac{3}{4}
Question 1

Calculer sin(x)\sin \left(x\right)

Correction
Pour tout réel xx, on a : cos2(x)+sin2(x)=1\cos ^{2} \left(x\right)+\sin ^{2} \left(x\right)=1
On sait que :
cos2(x)+sin2(x)=1\cos ^{2} \left(x\right)+\sin ^{2} \left(x\right)=1 équivaut successivement à :
(34)2+sin2(x)=1\left(\frac{3}{4} \right)^{2} +\sin ^{2} \left(x\right)=1 car cos(x)=34\cos \left(x\right)=\frac{3}{4}
916+sin2(x)=1\frac{9}{16} +\sin ^{2} \left(x\right)=1
sin2(x)=1916\sin ^{2} \left(x\right)=1-\frac{9}{16}
sin2(x)=1616916\sin ^{2} \left(x\right)=\frac{16}{16} -\frac{9}{16}
sin2(x)=716\sin ^{2} \left(x\right)=\frac{7}{16}
Ainsi : sin(x)=716\sin \left(x\right)=\sqrt{\frac{7}{16} } ou sin(x)=716\sin \left(x\right)=-\sqrt{\frac{7}{16} }
Or x[π2;0]x\in \left[-\frac{\pi }{2} ;0\right]. Cela signifie que le sinus doit être négatif.
On ne garde alors que sin(x)=716\sin \left(x\right)=-\sqrt{\frac{7}{16} } .
En effet, sur l'intervalle [π2;0]\left[-\frac{\pi }{2} ;0\right] le sinus est négatif.
Question 2

En déduire : cos(x+π)\cos \left(x+\pi \right) ; sin(πx)\sin \left(\pi -x\right) ; sin(π2x)\sin \left(\frac{\pi }{2} -x\right) ; cos(π2+x)\cos \left(\frac{\pi }{2} +x\right) ; sin(x+2π)\sin \left(x+2\pi \right)

Correction
  • D'après le cours, on sait que : cos(x+π)=cos(x)\cos \left(x+\pi \right)=-\cos \left(x\right)
    Ainsi : cos(x+π)=cos(x)=34\cos \left(x+\pi \right)=-\cos \left(x\right)=-\frac{3}{4}

  • D'après le cours, on sait que : sin(πx)=sin(x)\sin \left(\pi -x\right)=\sin \left(x\right)
    Ainsi : sin(πx)=sin(x)=716\sin \left(\pi -x\right)=\sin \left(x\right)=-\sqrt{\frac{7}{16} }

  • D'après le cours, on sait que : sin(π2x)=cos(x)\sin \left(\frac{\pi }{2} -x\right)=\cos \left(x\right)
    Ainsi : sin(π2x)=cos(x)=34\sin \left(\frac{\pi }{2} -x\right)=\cos \left(x\right)=\frac{3}{4}

  • D'après le cours, on sait que : cos(π2+x)=sin(x)\cos \left(\frac{\pi }{2} +x\right)=-\sin \left(x\right)
    Ainsi : cos(π2+x)=sin(x)=(716)=716\cos \left(\frac{\pi }{2} +x\right)=-\sin \left(x\right)=-\left(-\sqrt{\frac{7}{16} } \right)=\sqrt{\frac{7}{16} }

  • D'après le cours, on sait que : sin(x+2π)=sin(x)\sin \left(x+2\pi \right)=\sin \left(x\right)
    Ainsi : sin(x+2π)=sin(x)=716\sin \left(x+2\pi \right)=\sin \left(x\right)=-\sqrt{\frac{7}{16} }