Trigonométrie
Manipuler la formule cos2(x)+sin2(x)=1
Exercice 1
Soit x un réel de l'intervalle [2π;π] tel que sin(x)=31
1
Calculer cos(x)
Correction
Pour tout réel x, on a : cos2(x)+sin2(x)=1
On sait que :
cos2(x)+sin2(x)=1 équivaut successivement à :
cos2(x)+(31)2=1 car sin(x)=31
cos2(x)+91=1
cos2(x)=1−91
cos2(x)=99−91
cos2(x)=98
Ainsi : cos(x)=98 ou cos(x)=−98
Or x∈[2π;π]. Cela signifie que le cosinus doit être négatif.
On ne garde alors que cos(x)=−98.
En effet, sur l'intervalle [2π;π] le cosinus est négatif.
Exercice 2
Soit x un réel de l'intervalle [−2π;0] tel que cos(x)=43
1
Calculer sin(x)
Correction
Pour tout réel x, on a : cos2(x)+sin2(x)=1
On sait que :cos2(x)+sin2(x)=1 équivaut successivement à :
(43)2+sin2(x)=1 car cos(x)=43
169+sin2(x)=1
sin2(x)=1−169
sin2(x)=1616−169
sin2(x)=167
Ainsi : sin(x)=167 ou sin(x)=−167
Or x∈[−2π;0]. Cela signifie que le sinus doit être négatif.
On ne garde alors que sin(x)=−167.
En effet, sur l'intervalle [−2π;0] le sinus est négatif.
2
En déduire : cos(x+π) ; sin(π−x) ; sin(2π−x) ; cos(2π+x) ; sin(x+2π)
Correction
- D'après le cours, on sait que : cos(x+π)=−cos(x)
Ainsi : cos(x+π)=−cos(x)=−43
- D'après le cours, on sait que : sin(π−x)=sin(x)
Ainsi : sin(π−x)=sin(x)=−167
- D'après le cours, on sait que : sin(2π−x)=cos(x)
Ainsi : sin(2π−x)=cos(x)=43
- D'après le cours, on sait que : cos(2π+x)=−sin(x)
Ainsi : cos(2π+x)=−sin(x)=−(−167)=167
- D'après le cours, on sait que : sin(x+2π)=sin(x)
Ainsi : sin(x+2π)=sin(x)=−167
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