Manipuler la formule $$\cos ^{2} \left(x\right)+\sin ^{2} \left(x\right)=1$$ - Exercice 1

On sait que :
$$\cos ^{2} \left(x\right)+\sin ^{2} \left(x\right)=1$$ équivaut successivement à :
$$\cos ^{2} \left(x\right)+\left(\frac{1}{3} \right)^{2} =1$$ car $$\sin \left(x\right)=\frac{1}{3}$$
$$\cos ^{2} \left(x\right)+\frac{1}{9} =1$$
$$\cos ^{2} \left(x\right)=1-\frac{1}{9}$$
$$\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{9}{9} -\frac{1}{9}$$
$$\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{8}{9}$$
Ainsi : $$\cos \left(x\right)=\sqrt{\frac{8}{9} }$$ ou $$\cos \left(x\right)=-\sqrt{\frac{8}{9} }$$
Or $$x\in \left[\frac{\pi }{2} ;\pi \right]$$. Cela signifie que le cosinus doit être négatif.
On ne garde alors que $$\cos \left(x\right)=-\sqrt{\frac{8}{9} }$$.
En effet, sur l'intervalle $$\left[\frac{\pi }{2} ;\pi \right]$$ le cosinus est négatif.