Trigonométrie
Exercices types : 1ère partie
Exercice 1
On donne cos(87π)=−22+2 et sin(87π)=22−2
1
Calculer :
a. π−87π b. π+87π
c. 2π−87π d. 2π+87π
a. π−87π b. π+87π
c. 2π−87π d. 2π+87π
Correction
a. π−87π=1π−87π=1×8π×8−87π=88π−87π=88π−7π=8π
b. π+87π=1π+87π=1×8π×8+87π=88π+87π=88π+7π=815π
c. 2π−87π=2×4π×4−87π=84π−87π=84π−7π=−83π
d. 2π+87π=2×4π×4+87π=84π+87π=84π+7π=811π
b. π+87π=1π+87π=1×8π×8+87π=88π+87π=88π+7π=815π
c. 2π−87π=2×4π×4−87π=84π−87π=84π−7π=−83π
d. 2π+87π=2×4π×4+87π=84π+87π=84π+7π=811π
2
En déduire :
a. cos(8π) b. sin(815π)
c. sin(−83π) d. cos(811π)
a. cos(8π) b. sin(815π)
c. sin(−83π) d. cos(811π)
Correction
a.
cos(8π)=cos(π−87π)
cos(8π)=−cos(87π)
Finalement :
b.
sin(815π)=sin(π+87π)
sin(815π)=−sin(87π)
Finalement :
c.
sin(−83π)=sin(2π−87π)
sin(−83π)=cos(87π)
Finalement :
d.
cos(811π)=cos(2π+87π)
cos(811π)=−sin(87π)
Finalement :
cos(π−x)=−cos(x)
Ainsi : cos(8π)=cos(π−87π)
cos(8π)=−cos(87π)
Finalement :
cos(8π)=−⎝⎛−22+2⎠⎞=22+2
b.
sin(π+x)=−sin(x)
Ainsi : sin(815π)=sin(π+87π)
sin(815π)=−sin(87π)
Finalement :
sin(815π)=−22−2
c.
sin(2π−x)=cos(x)
Ainsi : sin(−83π)=sin(2π−87π)
sin(−83π)=cos(87π)
Finalement :
sin(−83π)=−22+2
d.
cos(2π+x)=−sin(x)
Ainsi : cos(811π)=cos(2π+87π)
cos(811π)=−sin(87π)
Finalement :
cos(811π)=−22−2
Exercice 2
1
Rappeler la valeur de sin(4π)
Correction
D'après le cours :
sin(4π)=22
sin(4π)=22
2
Donner la mesure principale de α=463π.
Correction
On appelle mesure principale d'un angle orienté α la mesure appartenant à l'intervalle ]−π;π]
« A la calculatrice, on tape 463=15,75. On s'intéresse uniquement à la partie entière c'est à dire à la partie avant la virgule. Ici on a 15. Comme 15 est impair on rajoute 1 ce qui nous donne 16. On va retrancher à α=463π la valeur 16π qui est bien un multiple de 2kπ »La partie en guillemet est une explication pour obtenir la mesure principale.
Vous ne devez pas l'écrire sur une copie.
Ce qui doit apparaître sur une copie est donnée ci-dessous.
Il vient alors :
α=463π−16π
α=463π−44×16π
α=463π−464π
α=−4π.
Il en résulte que la mesure principale de l'angle orienté de mesure α=463π est α=−4π.
3
En déduire la valeur de sin(−4π); sin(45π) et sin(463π)
Correction
Soit x un réel, on a :
sin(−x)=−sin(x) sin(π+x)=−sin(x)
Il vient alors que : sin(−4π)=−sin(4π)
sin(−4π)=−22
De plus :
sin(45π)=sin(π+4π)
sin(45π)=−sin(4π)
Ainsi :
sin(45π)=−22
Enfin :
sin(463π)=sin(−4π). Cela d'après la question 1.
sin(463π)=−sin(4π)
sin(463π)=−22
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