Exercices types : $1$^ère partie

$\red{\bf{a.}}$ $\pi -\frac{7\pi }{8} =\frac{\pi }{1} -\frac{7\pi }{8} =\frac{\pi \times 8}{1\times 8} -\frac{7\pi }{8} =\frac{8\pi }{8} -\frac{7\pi }{8} =\frac{8\pi -7\pi }{8} ={\color{blue}{\frac{\pi }{8}}}$
$\red{\bf{b.}}$ $\pi +\frac{7\pi }{8} =\frac{\pi }{1} +\frac{7\pi }{8} =\frac{\pi \times 8}{1\times 8} +\frac{7\pi }{8} =\frac{8\pi }{8} +\frac{7\pi }{8} =\frac{8\pi +7\pi }{8} ={\color{blue}{\frac{15\pi }{8}}}$
$\red{\bf{c.}}$ $\frac{\pi }{2} -\frac{7\pi }{8} =\frac{\pi \times 4}{2\times 4} -\frac{7\pi }{8} =\frac{4\pi }{8} -\frac{7\pi }{8} =\frac{4\pi -7\pi }{8} ={\color{blue}{-\frac{3\pi }{8}}}$
$\red{\bf{d.}}$ $\frac{\pi }{2} +\frac{7\pi }{8} =\frac{\pi \times 4}{2\times 4} +\frac{7\pi }{8} =\frac{4\pi }{8} +\frac{7\pi }{8} =\frac{4\pi +7\pi }{8} ={\color{blue}{\frac{11\pi }{8}}}$

$\red{\bf{a.}}$Ainsi :
$\cos \left(\frac{\pi }{8} \right)=\cos\left(\pi-{\color{red}{\frac{7\pi}{8}}}\right)$
$\cos \left(\frac{\pi }{8} \right)=-\cos\left({\color{red}{\frac{7\pi}{8}}}\right)$
$\purple{\text{Finalement :}}$
$\red{\bf{b.}}$Ainsi :
$\sin\left(\frac{15\pi }{8}\right)=\sin\left(\pi+{\color{red}{\frac{7\pi}{8}}}\right)$
$\sin\left(\frac{15\pi }{8}\right)=-\sin\left({\color{red}{\frac{7\pi}{8}}}\right)$
$\purple{\text{Finalement :}}$
$\red{\bf{c.}}$Ainsi :
$\sin \left(-\frac{3\pi }{8} \right)=\sin\left(\frac{\pi }{2}-{\color{red}{\frac{7\pi}{8}}}\right)$
$\sin \left(-\frac{3\pi }{8} \right)=\cos\left({\color{red}{\frac{7\pi}{8}}}\right)$
$\purple{\text{Finalement :}}$
$\red{\bf{d.}}$Ainsi :
$\cos \left(\frac{11\pi }{8} \right)=\cos\left(\frac{\pi }{2}+{\color{red}{\frac{7\pi}{8}}}\right)$
$\cos \left(\frac{11\pi }{8} \right)=-\sin\left({\color{red}{\frac{7\pi}{8}}}\right)$
$\purple{\text{Finalement :}}$

D'après le cours :
$\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\sqrt{2} }{2}$

« A la calculatrice, on tape $\frac{63}{4}=15,75$. On s'intéresse uniquement à la partie entière c'est à dire à la partie avant la virgule. Ici on a $15$. Comme $15$ est impair on rajoute $1$ ce qui nous donne $16$. On va retrancher à $\alpha =\frac{63\pi }{4}$ la valeur $16\pi$ qui est bien un multiple de $2k\pi$ »
La partie en guillemet est une explication pour obtenir la mesure principale.
Vous ne devez pas l'écrire sur une copie.
Ce qui doit apparaître sur une copie est donnée ci-dessous.
Il vient alors :
$\alpha =\frac{63\pi }{4} -16\pi$
$\alpha =\frac{63\pi }{4} -\frac{4\times 16\pi }{4}$
$\alpha =\frac{63\pi }{4} -\frac{64\pi }{4}$
$\alpha =-\frac{\pi }{4} .$
Il en résulte que la mesure principale de l'angle orienté de mesure $\alpha =\frac{63\pi }{4}$ est $\alpha =-\frac{\pi }{4}$.

$\red{\text{Il vient alors que :}}$
$\sin \left(-\frac{\pi }{4} \right)=-\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)$

$\red{\text{De plus :}}$
$\sin \left(\frac{5\pi }{4} \right)=\sin \left(\pi+\frac{\pi }{4} \right)$
$\sin \left(\frac{5\pi }{4} \right)=-\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)$
Ainsi :
$\red{\text{Enfin :}}$
$\sin \left(\frac{63\pi }{4} \right)=\sin \left(-\frac{\pi }{4} \right)$. Cela d'après la question $1$.
$\sin \left(\frac{63\pi }{4} \right)=-\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)$