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Produit scalaire
Produit scalaire : définition avec le cosinus (définition géométrique) - Exercice 3
3 min
10
Question 1
Calculer
A
B
→
⋅
A
C
→
\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC}
A
B
⋅
A
C
à l'aide de la figure ci-dessus :
Correction
Le produit scalaire de deux vecteurs
u
→
\overrightarrow{u}
u
et
v
→
\overrightarrow{v}
v
non nuls est défini par :
u
→
⋅
v
→
=
∥
u
→
∥
×
∥
v
→
∥
×
cos
(
u
→
,
v
→
)
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =\left\| \overrightarrow{u} \right\| \times \left\| \overrightarrow{v} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)
u
⋅
v
=
∥
∥
u
∥
∥
×
∥
∥
v
∥
∥
×
cos
(
u
,
v
)
A
B
→
⋅
A
C
→
=
∥
A
B
→
∥
×
∥
A
C
→
∥
×
cos
(
A
B
→
,
A
C
→
)
\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC} =\left\| \overrightarrow{AB} \right\| \times \left\| \overrightarrow{AC} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{AB} ,\overrightarrow{AC} \right)
A
B
⋅
A
C
=
∥
∥
A
B
∥
∥
×
∥
∥
A
C
∥
∥
×
cos
(
A
B
,
A
C
)
A
B
→
⋅
A
C
→
=
8
×
6
×
cos
(
π
3
)
\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC} =8\times 6\times \cos \left(\frac{\pi}{3} \right)
A
B
⋅
A
C
=
8
×
6
×
cos
(
3
π
)
. Or
cos
(
π
3
)
=
1
2
\cos \left(\frac{\pi}{3} \right)=\frac{1}{2}
cos
(
3
π
)
=
2
1
A
B
→
⋅
A
C
→
=
8
×
6
×
1
2
\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC} =8\times 6\times \frac{1}{2}
A
B
⋅
A
C
=
8
×
6
×
2
1
A
B
→
⋅
A
C
→
=
24
\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC} =24
A
B
⋅
A
C
=
24